Dubbio sulla notazione di Landau
Ciao a tutti.
Sto studiando ora i simboli di Landau (tra l'altro ringrazio gugo per il lavoro fatto a questo proposito!) e mi è venuto un dubbio risolvendo un esercizio.
A dir la verità prima di questo esercizio ero andato molto a "occhio", però questo modo di procedere non è mai positivo e infatti mi ha tratto in inganno.
Se ho questo limite:
$lim_(x -> 0^+) sqrt(x) / x$
ovviamente la prima cosa che faccio è semplificare per $sqrt(x)$ ottenendo:
$lim_(x -> 0^+) 1/sqrt(x) = oo$
e presumo che sia corretto.
Però se non eseguissi quel passaggio e procedessi a "occhio", appunto, mi verrebbe da pensare che $sqrt(x)$ arriva "prima" a $0$ di $x$, e quindi risponderei che il risultato del limite è 0.
Premesso che so che è sbagliato, potete dirmi qual'è l'errore e come è giusto ragionare?
Grazie infinite
Sto studiando ora i simboli di Landau (tra l'altro ringrazio gugo per il lavoro fatto a questo proposito!) e mi è venuto un dubbio risolvendo un esercizio.
A dir la verità prima di questo esercizio ero andato molto a "occhio", però questo modo di procedere non è mai positivo e infatti mi ha tratto in inganno.
Se ho questo limite:
$lim_(x -> 0^+) sqrt(x) / x$
ovviamente la prima cosa che faccio è semplificare per $sqrt(x)$ ottenendo:
$lim_(x -> 0^+) 1/sqrt(x) = oo$
e presumo che sia corretto.
Però se non eseguissi quel passaggio e procedessi a "occhio", appunto, mi verrebbe da pensare che $sqrt(x)$ arriva "prima" a $0$ di $x$, e quindi risponderei che il risultato del limite è 0.
Premesso che so che è sbagliato, potete dirmi qual'è l'errore e come è giusto ragionare?
Grazie infinite
Risposte
Perche' mai arriva prima? Se fai un disegno e confronti le due funzioni vedrai che anche graficamente si evince che $x$ arriva prima a $0$ rispetto a $\sqrt x$.
Uhm, hai ragione. Appena si sorpassa $1$, andando verso sinistra, $1/x$ è minore di $1/sqrt(x)$.
Però, ragionando in termini di Landau, ho che confrontando le due funzioni accade che:
$lim_(x -> +oo) sqrt(x)/x = 0$
per cui $sqrt(x)$ è un infinito di ordine inferiore a $x$ (o un infinitesimo di ordine superiore).
Questo non vorrebbe dire che nel calcolo del limite per $x -> 0$ dovrei poter trascurare $x$?
Scusami, ho le idee un po' confuse.
Però, ragionando in termini di Landau, ho che confrontando le due funzioni accade che:
$lim_(x -> +oo) sqrt(x)/x = 0$
per cui $sqrt(x)$ è un infinito di ordine inferiore a $x$ (o un infinitesimo di ordine superiore).
Questo non vorrebbe dire che nel calcolo del limite per $x -> 0$ dovrei poter trascurare $x$?
Scusami, ho le idee un po' confuse.
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