Dubbio sulla norma di operatori lineari

[Nigula88]

Ciao a tutti.
Avrei un dubbio sulla definizione di norma di operatori lineari.
In particolare sto considerando un operatore $A:H\rightarrow H$ dove $H$ spazio di Hilbert.
Per definizione $||A||="sup"_{\phi=1}||A\phi||$ ma $||A\phi||$ lo posso scrivere come $||A\phi||^2 = $?

[gugo82]

"Nigula88":Per definizione $||A||="sup"_{\phi=1}||A\phi||$ ma $||A\phi||$ lo posso scrivere come $||A\phi||^2 = $?

Non capisco se stai facendo confusione tra norma operatoriale e norma hilbertiana o il problema è un altro...

Ad ogni modo, innanzitutto, io comincerei a denotare le norme in modo da evitare ambiguità: ad esempio, userei [tex]$|\cdot |$[/tex] per denotare la norma hilbertiana di [tex]$H$[/tex], ossia [tex]$|u|:=\sqrt{\langle u,u\rangle}$[/tex] (anche per rimarcare l'analogia col valore assoluto dei numeri reali), ed userei [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] per la norma operatoriale in [tex]$\mathcal{L}(H)$[/tex], ossia [tex]$\lVert A\rVert :=\sup_{|u|=1} |Au|$[/tex]; oppure denoterei con [tex]$\lVert \cdot \rVert$[/tex] la norma hilbertiana e con [tex]$\lVert \cdot \rVert_{op}$[/tex] la norma operatoriale.

Ad ogni modo, è evidente che in:

[tex]$\lVert A\rVert =\sup_{|u|=1} |Au|$[/tex]

la norma a secondo membro è quella di un vettore di [tex]$H$[/tex], ergo per definizione [tex]$|Au|=\sqrt{\langle Au,Au\rangle}$[/tex].

[Nigula88]

Ok perfetto.
Grazie!