Dubbio sulla monotonia

frab1
ciao sto studiando le funzioni con elevamento a potenza : $x^(\alpha)$ , ma nel caso in cui $\alpha=m/n$ con m e n naturali diversi da 0!

la teoria mi dice che:"Se m è pari la funz è strettamente crescente su$[0,+oo)$ per ogni valore di n e m,mentre per m dispari,la funzione è strettamente crescente o strettamente decrescente su $(-oo,o]$ a seconda che n sia pari o dispari."

Poi il testo porta degli esempi, che rivelano l'oscurità della definizione teorica!:)

es $y=x^(5/3)$ ok è definita su tutto R perchè m è dispari, ma è strettamente crescente(?) scusate ma non è dispari??non dovrebbe esser strettamente crescente? tra $(-oo,0]$?sbaglia la teoria(che non è chiara)?sbaglia l'esercizio?

poi ancora:

es. $y=x^(4/3)$ sempre il suo dominio è R,ma ora mi dice:"strettamente decrescente su$(-oo,0]$ e strettamente crescente su$[0,+oo)$

ora qualcuno puo' darmi una mano?le due funzioni sono entrambe dispari con m dispari cosa c'è di sbagliato?oppure il tutto fila ma mi perdo qualcosa!? grazie :)

Risposte
Antimius
O.o ma da quando valgono queste definizioni? Io ero rimasto che la funzione potenza era strettamente crescente per $\alpha>0$ e strettamente decrescente per $\alpha<0$. Ma è definita, se $\alpha in RR$ (o se vuoi anche solo se $\alpha in QQ$), per le $x>0$.
Solo se $\alpha in ZZ$, puoi definirle su tutto $RR$ e fare la distinzione fra pari e dispari.
Anche perché, la definizione non sarebbe poi così consistente, perché ad esempio $-1=(-1)^(3/5)=(-1)^(6/10)=1$ (addirittura $(-1)^(6/10)=root(10)((-1)^6)$ oppure $=(root(10)(-1))^6$ ??).
Se vuoi, esiste una definizione più rigorosa della funzione potenza, esponenziale e logaritmo, che dovrebbe togliere ogni dubbio, ma si basa sulla funzione integrale $F(x)= int_{1}^(x) 1/tdt$.

dissonance
E questo è il solito problema che puntualmente ricorre sul forum. Evidentemente l'autore che sta leggendo frab estende la definizione della funzione potenza con esponente razionale anche per $x$ negative qualora il denominatore dell'esponente ridotto ai minimi termini sia dispari. E' una cosa che si usa molto fare, anche se spesso in questi casi si usa il simbolo di radicale che dà meno adito a incertezze:

$x^{5/3}=(root(3)(x))^5$;
$x^{4/3}=(root(3)(x))^4$.

frab1
quindi posso generalizzare affermando che quando $m$ è pari la funzione è strettamente crescente e quindi strettamente monotona si $[0,+oo)$
e che quando è $m$ è dispari è cresente se $n$ pari e decrescente se $n$è dispari ?? il tutto per $m/n>0$

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