Dubbio sulla Lipshitzianetà

[Gmork]

Mi chiedevo...


se io ho la seguente derivata:

[tex]\ f'(x) = \begin{cases}\ e^{\frac{-1}{(x-1)^2}}\frac{2}{(x-1)^2} & x < 1\\



\frac{e-x}{(e-1)^2\sqrt {1-(\frac{x-e}{e-1})^2}} & 1< x < e\\




\frac{1}{x} & x>e \end{cases}[/tex]

Per la quale accade che sono finiti sia $\lim_{x\to e^-}\ f'(x)$ che $\lim_{x\to e^+}\ f'(x)$; e che però mentre è finito $\lim_{x\to 1^-}\ f'(x)$, risulta invece $\lim_{x\to 1^+}\ f'(x)=+\infty$

Posso dire che la funzione è Lipschitziana su [tex]]-\infty, 1[\cup [e, +\infty[[/tex] ?? oppure mi perdo qualcosa? (EDIT: "mi perdo" nel senso di "trascuro")

[j18eos]

Sicuramente è lipschitziana nelle componenti connesse di tale pluri-intervallo; intendo in [tex](-\infty,1)[/tex] e [tex][e,+\infty)[/tex].

[Gmork]

Si ma non so come faccio ad esprimere che $\lim_{x\to e^-}\ f'(x)$ è finito. Ecco, ho paura di trascurare l'intorno sinistro di $e$

[j18eos]

Non interessa che la derivata sia limitata in un intorno completo, se lo fosse si avrebbe un di più!
Per quanta riguarda quel limite è 0, basta sostituire.

[Gmork]

Ok. Grazie. Quindi con la restrizione che ho fatto all'inizio comunico comunque ciò che ho trovato da quei limiti ?

[j18eos]

I limiti che hai calcolato e la definizione di lipschitzianità di una funzione in un intervallo ti permettono di affermare che la funzione primitiva di tale derivata è lipschitziana indipendentemente negl'intervalli:

[tex](-\infty;1][/tex]; [tex]\forall a\in(1;e),\,(a;e)[/tex]; [tex][e;+\infty)[/tex]

ma non che essa sia lipschitziana nella loro unione.

[Gmork]

Ah, ok. Capito. Grazie