Dubbio sulla dimostrazione della caratterizzazione del limite inferiore

[mklplo751]

Salve, oggi ad analisi 1, abbiamo dimostrato una caratterizzazione del limite inferiore e del limite superiore di una successione a valori reali. Tuttavia non abbiamo dimostrato la controimplicazione e inoltre non avendo capito un passo che la professoressa aveva fatto, ho provato a rifare quel punto della dimostrazione. Ora, ho cercato sui libri per trovare qualche riferimento, ma effettivamente nessuno riportava la stessa proposizione.
La proposizione (che qui riporto solo per il limite inferiore) è:
Sia $l' \in RR$ e sia $a_n$ una successione limitata a valori reali, allora
\( l'=\liminf a_n \Leftrightarrow \begin{cases} \begin {cases}n \in \mathbb{N} \end{cases}:a_nl'-\varepsilon \forall n \geq k' \end{cases} \forall \varepsilon >0 \)
Dimostrazione
Prima implicazione:

$ l'=s up {i nf{a_k:k>=n}:n in NN} $
fissato $n$ definiamo $ l'_n=i nf{a_k:k>=n} $, abbiamo dunque che $ l'_n<=l'0) $ allora per definizine di estremo inferiore $ EE k'>=n:l'_n+epsi>a_(k') $ allora $ \foralln \in NN EEk'>=n:a_(k')0) $ ciò dimostra il primo punto, infatti per ogni numero naturale potrò sempre trovare un numero naturale che soddisfa la proprietà richiesta e tutti questi numeri non possono essere lo stesso perché ciò implicherebbe trovare un numero naturale maggiore di tutti gli altri e ciò è assurdo. Passiamo al secondo punto. Per definizione di estremo superiore $ EEn\inNN:l'-\epsi<=l_n'(\forall \epsi >0) $ e dalla definizione di estremo inferiore segue che $ EEn\inNN:l'-\epsi=n (\forall \epsi >0) $

Ora, per dimostrare la seconda implicazione devo dimostrare che effettivamente $l'$ è il limite inferiore della successione. Tentai per assurdo, il punto è che dato che un estremo inferiore non deve necessariamente appartenere all'insieme, non riuscivo a ricavare l'assurdo.
Vi ringrazio per aver letto. Se non vi reca disturbo qualcuno potrebbe dirmi se la dimostrazione della prima implicazione è corretta (come ho detto ci sono alcune differenze con quella della professoressa, lei usava l'assurdo per dimostrare un passaggio e non introduceva $l_n'$, però io non riuscivo a capire l'assurdo, sempre a causa che l'estremo non deve appartenere necessariamente all'insieme, e dunque ho scelto una via analoga ma con qualche piccola differenza) e potreste suggerirmi come iniziare la dimostrazione della seconda implicazione?

[mklplo751]

Ok, forse mi è venuto un modo di dimostrare la seconda implicazione:

Supponiamo per assurdo che $ EEn \in NN: l'_n>l $ allora preso $ \epsi =l_n'-l>0 $ abbiamo $ EE \epsi>0\EEn\inNN:a_k>=l'+ \epsi \forallk>=n $ e dunque $ EE \epsi>0:{kin NN:a_k0: \forall n in NN:l'-\epsi>l'_n->EE \epsi >0: \forall n in NN EEk>=n:l'- \epsi>=a_k $, contro l'ipotesi.

Se non vi reca disturbo, oltre alla dimostrazione della prima implicazione, potreste controllare anche questa?
P.s:riguardando le dimostrazioni che ho fatto, e quella fatta dalla prof, non riesco a capire bene, dove viene usata la limitatezza, qualcuno mi sa dire se effettivamente viene usata e se sì dove?

[gugo82]

Ti rispondo appena ho finito l'albero di Natale.

[mklplo751]

Grazie.

[gugo82]

La limitatezza (inferiore, quella superiore non serve per il $"minlim"$) viene usata per costruire la successione $l_n^\prime$. Perché?

Inoltre, molto dipende da come ti hanno definito il minimo limite.
A quanto capisco la definizione è \(\displaystyle l^\prime = \sup_{n \in \mathbb{N}} \inf_{k \geq n} a_k\) se $(a_n)$ è limitata inferiormente (e $l^\prime = -oo$ altrimenti[nota]In realtà, questa distinzione non è necessaria, perché la prima espressione ha senso anche se tutti gli \(\displaystyle \inf_{k \geq n} a_k\) sono uguali a $-oo$, i.e. anche se $(a_n)$ non è limitata inferiormente.[/nota]) che, seppur classica, è alquanto seccante quando si tratta di dimostrare le proprietà caratteristiche.

Scrivo la dimostrazione così come mi viene, anche perché -non ho capito come- il post che avevo scritto in precedenza è scomparso...

Qui suppongo che $(a_n)$ sia limitata inferiormente e chiamo (*) le due proprietà che si vogliono dimostrare.

$=>$) Se $l^\prime = "sup"_(n in NN) "inf"_(k >= n) a_k$, allora $l^\prime$ gode delle proprietà (*).
Per definizione e proprietà dell'estremo superiore, comunque fissi $epsilon >0$ hai:

[list=1][*:19tfyes3] per ogni $n in NN$, $"inf"_(k >= n) a_k <= l^\prime < l^\prime + epsilon$,

[/*:m:19tfyes3]
[*:19tfyes3] esiste un $nu in NN$ tale che $l^\prime - epsilon < "inf"_(k >= nu) a_k$;[/*:m:19tfyes3][/list:o:19tfyes3]

per le proprietà caratteristiche dell'estremo inferiore, invece, dalle precedenti discende che:

[list=1][*:19tfyes3] per ogni $n in NN$, esiste $k_n in NN$ tale che $k_n >= n$ ed $a_(k_n) < l^\prime + epsilon $,

[/*:m:19tfyes3]
[*:19tfyes3] esiste $nu in NN$ tale che $AA k >= nu$ risulta $l^\prime - epsilon < a_k$.[/*:m:19tfyes3][/list:o:19tfyes3]

Ponendo $k^\prime = nu$, la 2 è la seconda delle (*).
La condizione $k_n >= n$ nella 1 assicura che l'insieme $\{ k_n \}_(n in NN)$ è infinito; dunque la 1 è la prima delle (*).


$\Leftarrow$) Se $l^\prime$ gode delle proprietà (*), allora $l^\prime = "sup"_(n in NN) "inf"_(k >= n) a_k$.
Fissato $epsilon >0$ e considerato $epsilon/2 >0$, dalla seconda delle (*) segue che $"inf"_(k >= k^\prime) a_k >= l^\prime - epsilon/2 > l^\prime - epsilon$; siccome la successione di estremi inferiori $"inf"_(k >= n) a_k$ è crescente, da quanto appena visto segue che $AA n >= k^\prime$ risulta $"inf"_(k >= n) a_k > l^\prime - epsilon$ e perciò $"sup"_n "inf"_(k >= n) a_k > l^\prime - epsilon$.
D'altra parte, la prima delle (*) significa che, fissato $epsilon > 0$, per tutti gli $n \in NN$ si trova $"inf"_(k >= n) a_k < l^\prime + epsilon/2$; dunque $"sup"_n "inf"_(k >= n) a_k <= l^\prime + epsilon/2 < l^prime + epsilon$.
Ne viene che $AA epsilon > 0$ risulta $l^\prime - epsilon < "sup"_n "inf"_(k >= n) a_k < l^\prime + epsilon$, ossia -data l'arbitrarietà di $epsilon$- che $l^\prime = "sup"_n "inf"_(k >= n) a_k =: "minlim"_n a_n$.

In più, ti lascio un esercizio:

Sia $(a_n)$ una successione reale.

Chiamiamo minorante definitivo di $(a_n)$ ogni numero reale $lambda^\prime$ che è definitivamente minore od uguale ad ogni elemento della successione, cioè per cui esista $n_0 in NN$ tale che $AA n >= n_0$ risulta $a_n >= lambda^\prime$.

1. Detto $Lambda^\prime$ l'insieme dei minoranti definitivi, dimostrare che:

[list=a][*:19tfyes3] se $(a_n)$ non è limitata inferiormente, allora $Lambda^\prime = emptyset$ ed, ovviamente, \(\sup \Lambda^\prime = -\infty\);

[/*:m:19tfyes3]
[*:19tfyes3] se $(a_n)$ è limitata inferiormente, allora:

[*:19tfyes3] $Lambda^\prime != emptyset$ e risulta \(\displaystyle \sup \Lambda^\prime = l^\prime = \operatorname{minlim}_n a_n\);

[/*:m:19tfyes3]
[*:19tfyes3] l'estremo superiore è un massimo, i.e. \(l^\prime \in \Lambda^\prime\).[/*:m:19tfyes3][/list:u:19tfyes3][/*:m:19tfyes3][/list:o:19tfyes3]

2. Le proprietà caratteristiche del minimo limite equivalgono a dire che $l^\prime = max Lambda^\prime$.

[mklplo751]

Grazie Gugo.
Allora dato che la successione degli $l'_n$ è crescente, per definirla, la successione di partenza deve essere limitata inferiormente, giusto?
Grazie per aver fatto la dimostrazione, spero non ti abbia disturbato. Per curiosità, quella che avevo fatto presenta errori?
Per quanto riguarda l'esercizio, il punto 1a è abbastanza ovvio (o almeno sembra), mentre il punto 1b penso volessi scrivere che la successione è inferiormente limitata, ma sulla dimostrazione ci devo pensare così come il punto 2.

[mklplo751]

Ho provato a fare l'esercizio:

(1a) Se per assurdo la successione fosse definitivamente limitata inferiormente ma non limitata inferiormente, allora ci sarebbe un numero reale minore di tutti i numeri reali e ciò sarebbe un assurdo.
(1b)Se la successione è inferiormente limitata, allora esiste banalmente un minorante per la successione che è dunque elemento di $\Lambda '$ e dunque l'insieme è non vuoto. Notiamo che fissato $n$ $ l_n'=max{ \lambda'\in \Lambda':\lambda'<=a_k \forall k>=n} $ e dunque $l'=s u p \Lambda'$. Infine, per le proprietà dimostrate prima $ \forall \epsi>0 EEk' \in NN: a_(k')>l'-\epsi \foralln>=k'->EEc \in NN:a_c>=l' \foralln>=c $ e dunque $l'=max \Lambda'$.

Sono curioso di vedere se mi è riuscito (sarebbe la seconda dimostrazione corretta, se quella di prima lo era, altrimenti sarebbe la prima, in entrambi i casi sarebbe emozionante, anche se ovviamente se anche quella precedente fosse corretta, sarebbe ancora più entusiasmante).