Dubbio sulla dimostrazione del teorema di Heine - Cantor

[qwerty901]

Il teorema di Heine - Cantor sull'uniforme continuità dice che :

Sia $K sube RR^n $ compatto: sia $f:K -> RR^m $ continua. Allora $f$ è uniformemente continua.

Ora ho un dubbio sulla dimostrazione:

DIMOSTRAZIONE:

Supponiamo per assurdo che $f$ non sia uniformemente continua. Quindi:

$EE epsilon_0 >0 | AA delta >0$ , ci sono punti $x_k$ e $z_k$ dipendenti da $delta$ tali che:
$||x_k - z_k|| < delta , ||f(x_k) - f(z_k)|| >= epsilon_0$
ecc...

ora io mi chiedo perchè $||f(x_k) - f(z_k)|| >= epsilon_0$ e non $<=$ ?

Grazie

[Paolo902]

"qwerty90":

ora io mi chiedo perchè $||f(x_k) - f(z_k)|| >= epsilon_0$ e non $<=$ ?

Perchè stai negando la definizione di funzione uniformemente continua (appunto, la tua tesi): è una dimostrazione per assurdo.

[strangolatoremancino]

Pignoleria: nella definizione di U.C. la disuguaglianza finale è stretta, infatti la si nega con "esiste $epsilon$ blabla tale che $||f(x_k) - f(z_k)||$ è non minore di $epsilon$"

[qwerty901]

@ Paolo90: io veramente avevo intuito come negazione il fatto che $x_k$ e $z_k$ erano dipendenti da $delta$

@ strangolatoremancino: il libro dice $>=$ non so che dirti.

[dissonance]

Nota generalista: quando c'è una disuguaglianza con $epsilon$, che sia stretta o larga di solito non cambia niente. Se c'è scritto $epsilon$, nel 99% dei casi è una quantità destinata ad essere arbitrariamente piccola, quindi quell'$=$ è ininfluente.

[Paolo902]

Ti faccio vedere come l'ho studiata io, nel caso in cui $f:[a,b] to RR$ sia continua.

$f$ unif continua su $[a,b]$ significa: $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x,y in [a,b] " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|
La negazione logica di questo enunciato è: $EE epsilon>0, " " forall delta_epsilon>0, " " EE x,y in [a,b] " tali che " |x-y|=epsilon$.

Suppongo $f$ continua su $[a,b]$ ma ivi non unif continua. In particolare, $delta$ lo posso scegliere come voglio, quindi posso dire $delta=1/n$. Quindi ottengo due successioni, $x_n,y_n$ tali che...

Usando il teorema di Bolzano Weierstrass e il fatto che $f$ è continua (e quindi pure sequenzialmente continua) si giunge ad un assurdo, da cui la tesi.
Ti lascio completare i dettagli.

Se hai bisogno, chiedi.

[qwerty901]

"Paolo90":Ti faccio vedere come l'ho studiata io, nel caso in cui $f:[a,b] to RR$ sia continua.

$f$ unif continua su $[a,b]$ significa: $forall epsilon>0, " " EE delta_epsilon>0, " " forall x,y in [a,b] " tali che " |x-y| |f(x)-f(y)|
La negazione logica di questo enunciato è: $EE epsilon>0, " " forall delta_epsilon>0, " " EE x,y in [a,b] " tali che " |x-y|=epsilon$.

Ok chiarissimo

"Paolo90":Suppongo $f$ continua su $[a,b]$ ma ivi non unif continua. In particolare, $delta$ lo posso scegliere come voglio, quindi posso dire $delta=1/n$. Quindi ottengo due successioni, $x_n,y_n$ tali che...

Usando il teorema di Bolzano Weierstrass e il fatto che $f$ è continua (e quindi pure sequenzialmente continua) si giunge ad un assurdo, da cui la tesi.
Ti lascio completare i dettagli.

Se hai bisogno, chiedi.

No, il resto mi è chiaro. Grazie

[Paolo902]

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