Dubbio sulla differenziabilità
Ciao a tutti...ho un dubbio sulla differenziabilità nell' origine della funzione che vale
$ f(x, y) = root(3)(x) e^{-x^2/y^4} $ per $ y != 0 $
e 0 per $ y = 0 $.
Il libro di testo da cui ho preso l' esercizio riporta che tale funzione non è differenziabile...io ho provato a calcolare il limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) / (sqrt(x^2+y^2)) $
passando a coordinate polari:
$ x = r cost $
$ y = r sint $
e avrei detto che tale limite esiste e vale 0...ma evidentemente non è cosi. Sapete darmi un chiarimento a riguardo?
$ f(x, y) = root(3)(x) e^{-x^2/y^4} $ per $ y != 0 $
e 0 per $ y = 0 $.
Il libro di testo da cui ho preso l' esercizio riporta che tale funzione non è differenziabile...io ho provato a calcolare il limite:
$ lim_((x,y) -> (0,0)) f(x,y) / (sqrt(x^2+y^2)) $
passando a coordinate polari:
$ x = r cost $
$ y = r sint $
e avrei detto che tale limite esiste e vale 0...ma evidentemente non è cosi. Sapete darmi un chiarimento a riguardo?
Risposte
Non è differenziabile dove? In $(0,0)?
E' giusto il calcolo che fai perché mi sembra che le derivate parziali siano nulle in $(0,0)$.
In ogni caso, bisogna calcolare: $lim_{(x,y) to (0,0)} root(3)(x)e^(-(x^2)/(y^4))/sqrt(x^2+y^2)$ e verificare che sia uguale a $0$.
Prova a calcolare il limite su una restrizione di quella funzione. Ad esempio, lungo $x=y^2$. Se il limite è $!=0$ è già sufficiente a dire che la funzione non è differenziabile in $(0,0)$, indipendentemente dal fatto che il limite potrebbe comunque esistere.
Altrimenti, scrivi i passaggi che hai fatto.
E' giusto il calcolo che fai perché mi sembra che le derivate parziali siano nulle in $(0,0)$.
In ogni caso, bisogna calcolare: $lim_{(x,y) to (0,0)} root(3)(x)e^(-(x^2)/(y^4))/sqrt(x^2+y^2)$ e verificare che sia uguale a $0$.
Prova a calcolare il limite su una restrizione di quella funzione. Ad esempio, lungo $x=y^2$. Se il limite è $!=0$ è già sufficiente a dire che la funzione non è differenziabile in $(0,0)$, indipendentemente dal fatto che il limite potrebbe comunque esistere.
Altrimenti, scrivi i passaggi che hai fatto.
Si si, il riferimento era all'origine.
Per quanto riguarda le restrizioni, in effetti ho valori diversi a seconda della curva su cui mi muovo. Questa cosa però dovrei notarla anche calcolando il limite in coordinate polari, giusto? Insomma, mi aspetto di vedere diversi valori del limite al variare di t...e invece no...
Ti mostro i passi. Per prima cosa passo a coordinate polari:
$ (root(3)(r cost) * e^{-((r^2)(cost)^2)/((r^4)(sint)^4)})/r = (root(3)(r cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)})/r = (r)^(-2/3)(root(3)(cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)}) $
Io ho ragionato cosi: per un t fissato questo limite è zero, quindi zero è in effetti il mio candidato limite.
Adesso valuto $ lim_(r -> 0)s(r) $ dove
$ s(r) = SUP { (r)^(-2/3)(root(3)(cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)})} $ al variare di t in [0, 2pi]
A me sembra che per merito dell'esponenziale questo limite esista e sia 0. Se cosi fosse dovrei concludere che f è diff., con ovvia contraddizione di quanto trovato in precedenza. Cosa sto trascurando?
Per quanto riguarda le restrizioni, in effetti ho valori diversi a seconda della curva su cui mi muovo. Questa cosa però dovrei notarla anche calcolando il limite in coordinate polari, giusto? Insomma, mi aspetto di vedere diversi valori del limite al variare di t...e invece no...
Ti mostro i passi. Per prima cosa passo a coordinate polari:
$ (root(3)(r cost) * e^{-((r^2)(cost)^2)/((r^4)(sint)^4)})/r = (root(3)(r cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)})/r = (r)^(-2/3)(root(3)(cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)}) $
Io ho ragionato cosi: per un t fissato questo limite è zero, quindi zero è in effetti il mio candidato limite.
Adesso valuto $ lim_(r -> 0)s(r) $ dove
$ s(r) = SUP { (r)^(-2/3)(root(3)(cost) * e^{-(cost)^2/((r^2)(sint)^4)})} $ al variare di t in [0, 2pi]
A me sembra che per merito dell'esponenziale questo limite esista e sia 0. Se cosi fosse dovrei concludere che f è diff., con ovvia contraddizione di quanto trovato in precedenza. Cosa sto trascurando?
Piccola correzione: s(r) = sup | ... | (nella formula precedente ho dimenticato il modulo)
Mmh... Credo che il problema sia il fatto che $sint=0$ per $t=0$, quindi hai una direzione su cui il limite non esiste. Magari aspetta qualcun altro per conferma.
Io avrei seguito il suggerimento di Antimius di valutare il rapporto sulla curva $x=y^2$.
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