Dubbio sulla derivabilità di una funzione

leooo98
Ciao ragazzi, ho un piccolo problema con lo studio dei punti di non derivabilità di questa funzione: $1+|ln(x-2)|$
Ho sdoppiato la funzione in due funzioni:
${y=1+ln(x-2) se: x>3, y=1-ln(x-2) se: x<3$
Il dominio risulta essere $(2; $+infty$)$
La funzione risulta sempre positiva con nessun punto di intersezione.
Derivata prima: $y_1 ' = 1/(x-2)$ e $y_2 ' =-1/(x-2)$
tuttavia nel momento in cui vado a studiare i punti (il punto) di non derivabilità che dovrebbe essere il punto (3;1) i limiti destro e sinistro della derivata in quel punto non sono coincidenti (quindi fin qui dovrebbe essere tutto ok) però uno dà come risultato -1 e l'altro 1. Adesso la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente nel punto considerato quindi il fatto che non coincidano i due limiti fa in modo che ci sia un punto angoloso e il fatto che uno dia 1 e l'altro -1 significa semplicemente che da una parte la tangente si dispone a -1 e dall'altra parte a +1?
E un'altra cosa, come capisco che il punto $(3;1)$ è un punto di non derivabilità? Perchè non dovrebbe annullare il denominatore della derivata... Sono arrivato a capire che fosse un punto di non derivabilità più che altro per il fatto che il valore assoluto ribalta la parte negativa rendendola positiva, ma la mia domanda è: non c'è qualche altro metodo per individuare i punti di non derivabilità?
(Perdonatemi se la domanda risulta banale...)

Risposte
Papercut
Ciao atomr902,
Abbiamo la funzione $ f(x)=1+|ln(x-2)| $ il cui dominio, come hai già detto, risulta essere: $ Dom(f(x))=(2,+oo ) $.
Per individuare i possibili punti di non derivabilità procediamo in questo modo:
Calcoliamo la derivata prima: $ f'(x)=|ln(x-2)|/ln(x-2)*1/(x-2) $
Determiniamo l'insieme di definizione della derivata prima, che in questo caso risulta essere: $ Dom(f'(x))=(2,+oo )-{3} $
Confrontiamo l'insieme di definizione della funzione $ f(x) $ con quello della sua derivata, in questo modo notiamo che i due coincidono a meno di quel 3, quindi possiamo dedurre che 3 sia un punto di non derivabilità. Al fine di verificare ciò effettuiamo il limite destro e sinistro del rapporto incrementale in quel punto.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.