Dubbio sulla derivabilità di una funzione
Buonasera a tutti 
,
svolgendo lo studio di questa funzione:
\( \sqrt{\frac{2x+1}{e^x}} \)
mi è venuto questo dubbio:
E' possibile dire che, essendo la funzione radice di x con indice pari non derivabile in x=0, allora la funzione precedente non è derivabile nei punti per cui \( \frac{2x+1}{e^x} =0 \) ossia \( x=-\frac{1}{2} \), senza calcolare la derivata prima e ragionare su essa?
,svolgendo lo studio di questa funzione:
\( \sqrt{\frac{2x+1}{e^x}} \)
mi è venuto questo dubbio:
E' possibile dire che, essendo la funzione radice di x con indice pari non derivabile in x=0, allora la funzione precedente non è derivabile nei punti per cui \( \frac{2x+1}{e^x} =0 \) ossia \( x=-\frac{1}{2} \), senza calcolare la derivata prima e ragionare su essa?
Risposte
ciao FM93!
La derivata credo sia (se i calcoli mi assistono)
$y'=(1-2x)/(2e^x sqrt((2x+1)/e^x))$
la funzione non è quindi derivabile nel punto $x=-1/2$ perchè li la derivata non esiste, tale punto non fa parte del c.e. della derivata
Il campo di esistenza della funzione originale se non erro dovrebbe essere $x>=-1/2$
Quindi la funzione in $x=-1/2$ è definita, vale $0$, ma non è derivabile
Allora facciamo il
$lim_(x->(-1/2)^+) f'(x) = + infty$
Ne concludiamo che in $x=-1/2$ c'è un punto a tangente verticale
ciao!!
La derivata credo sia (se i calcoli mi assistono)
$y'=(1-2x)/(2e^x sqrt((2x+1)/e^x))$
la funzione non è quindi derivabile nel punto $x=-1/2$ perchè li la derivata non esiste, tale punto non fa parte del c.e. della derivata
Il campo di esistenza della funzione originale se non erro dovrebbe essere $x>=-1/2$
Quindi la funzione in $x=-1/2$ è definita, vale $0$, ma non è derivabile
Allora facciamo il
$lim_(x->(-1/2)^+) f'(x) = + infty$
Ne concludiamo che in $x=-1/2$ c'è un punto a tangente verticale
ciao!!
Grazie per aver risposto
Leggendo la tua risposta ho i seguenti dubbi:
1) Ho letto da qualche parte che, quando si studiano i punti di non derivabilità, il metodo più "sicuro" è quello di utilizzare il limite del rapporto incrementale nel punto. Tuttavia in alcuni casi (come hai fatto tu ) possiamo calcolare direttamente il limite della derivata prima, in quanto è un procedimento più rapido. La domanda quindi è: quando è lecito utilizzare quest'ultimo metodo?
2) Per dire che $ x=-1/2 $ è un punto di flesso non dovrebbe esistere entrambi i limiti dalla destra e dalla sinistra?
Non potrebbe a questo punto essere anche
un ramo di cuspide dato che i limite diverge a più infinito?
Come fai a distinguere?
Leggendo la tua risposta ho i seguenti dubbi:
"mazzarri":
$ lim_(x->(-1/2)^+) f'(x) = + infty $
1) Ho letto da qualche parte che, quando si studiano i punti di non derivabilità, il metodo più "sicuro" è quello di utilizzare il limite del rapporto incrementale nel punto. Tuttavia in alcuni casi (come hai fatto tu ) possiamo calcolare direttamente il limite della derivata prima, in quanto è un procedimento più rapido. La domanda quindi è: quando è lecito utilizzare quest'ultimo metodo?
"mazzarri":
Ne concludiamo che in $ x=-1/2 $ c'è un punto a tangente verticale
2) Per dire che $ x=-1/2 $ è un punto di flesso non dovrebbe esistere entrambi i limiti dalla destra e dalla sinistra?
Non potrebbe a questo punto essere anche
un ramo di cuspide dato che i limite diverge a più infinito?Come fai a distinguere?
"FM93":
[quote="mazzarri"]
Ne concludiamo che in $ x=-1/2 $ c'è un punto a tangente verticale
2) Per dire che $ x=-1/2 $ è un punto di flesso non dovrebbe esistere entrambi i limiti dalla destra e dalla sinistra?
Non potrebbe a questo punto essere anche
un ramo di cuspide dato che i limite diverge a più infinito?Come fai a distinguere?[/quote]
Perchè parli di punto di flesso?
Io ho scritto che c'è un punto a tangente verticale... che è credo la definizione più corretta
per avere una cuspide o un flesso t.v. devi avere entrambi i rami a infinito... qui ce ne è uno solo quindi mi sembra corretto dire che in quel punto la tangente è verticale e basta...
ciao!
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