Dubbio sulla delta dirac
Consideriamo n particelle nello spazio euclideo tridimensionale, ciascuna caratterizzata da una posizione $\vec r$
Questa uguaglianza è vera?
$\int \vec {dr'_1},...,\vec {dr'_n} \delta (\vec {r'_1}-\vec {r_1})\cdot ... \cdot delta (\vec {r'_n}-\vec {r_n}) f( \vec {r'_1},...,\vec {r'_n})$$ =f( \vec {r_1},...,\vec {r_n}) $
Questa uguaglianza è vera?
$\int \vec {dr'_1},...,\vec {dr'_n} \delta (\vec {r'_1}-\vec {r_1})\cdot ... \cdot delta (\vec {r'_n}-\vec {r_n}) f( \vec {r'_1},...,\vec {r'_n})$$ =f( \vec {r_1},...,\vec {r_n}) $
Risposte
Sì (con le notazioni dei fisici).
Mi pare proprio di sì... Anche se scritta così, quella è una fetenzia da ingegneri, più che da fisici. 
Sono uno studente di fisica in effetti, e ormai la funzione delta la vedo solo in questo modo, purtroppo, e la vedo usata come vera e propria funzione... ed infatti mi stanno sorgendo molti dubbi a riguardo, forse non l'ho compresa davvero. Quale sarebbe la versione formalmente corretta?
Lasciali stare questi matematici! 
Sono un matematico anche io, in verità. Qualche mese fa ho frequentato un corso per fisici e sono entrato in contatto con il physicist's calculus, di cui la formula regina è la seguente:
\begin{equation}\tag{1}
\int \frac{d^n p}{(2\pi)^{n}} e^{i p\cdot x}=\delta(x).
\end{equation}
Dal punto di vista matematico questa formula non ha senso, ma è così utile e profonda che nel suo Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians, il matematico Gerry Folland propone una "definizione di fisico matematico", parafrasando la "definizione di matematico" di Lord Kelvin:
Definizione Un fisico matematico è una persona per cui la formula (1) è ovvia.
La versione formalmente corretta sarebbe la seguente:
\begin{equation}\tag{1bis}
\mathscr{F}^{-1}_{p \to x} e^{i p \cdot x}= \delta,
\end{equation}
dove \(\mathscr{F}^{-1}\) denota l'antitrasformata di Fourier nello spazio delle distribuzioni temperate. I due approcci (1) e (1bis) hanno vantaggi e svantaggi: il primo presenta direttamente l'idea, con lo svantaggio che una sua manipolazione troppo allegra può portare ad inconsistenze, il secondo oscura l'idea dietro un formalismo più complicato ma può essere manipolato in modo formale senza timore di incongruenze.
L'ideale sarebbe conoscere tutti e due gli approcci. Si parla di questo argomento, oltre che nel già citato testo di Folland, anche nell'introduzione di Zeidler: Applied Functional Analysis.
*** *** ***
P.S.: Per evitare equivoci, io sono convinto che sia Rigel sia Gugo conoscono benissimo queste cose e quando dico di lasciarli stare ovviamente scherzo.
Sono un matematico anche io, in verità. Qualche mese fa ho frequentato un corso per fisici e sono entrato in contatto con il physicist's calculus, di cui la formula regina è la seguente: \begin{equation}\tag{1}
\int \frac{d^n p}{(2\pi)^{n}} e^{i p\cdot x}=\delta(x).
\end{equation}
Dal punto di vista matematico questa formula non ha senso, ma è così utile e profonda che nel suo Quantum Field Theory: a tourist guide for mathematicians, il matematico Gerry Folland propone una "definizione di fisico matematico", parafrasando la "definizione di matematico" di Lord Kelvin:
Definizione Un fisico matematico è una persona per cui la formula (1) è ovvia.
La versione formalmente corretta sarebbe la seguente:
\begin{equation}\tag{1bis}
\mathscr{F}^{-1}_{p \to x} e^{i p \cdot x}= \delta,
\end{equation}
dove \(\mathscr{F}^{-1}\) denota l'antitrasformata di Fourier nello spazio delle distribuzioni temperate. I due approcci (1) e (1bis) hanno vantaggi e svantaggi: il primo presenta direttamente l'idea, con lo svantaggio che una sua manipolazione troppo allegra può portare ad inconsistenze, il secondo oscura l'idea dietro un formalismo più complicato ma può essere manipolato in modo formale senza timore di incongruenze.
L'ideale sarebbe conoscere tutti e due gli approcci. Si parla di questo argomento, oltre che nel già citato testo di Folland, anche nell'introduzione di Zeidler: Applied Functional Analysis.
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P.S.: Per evitare equivoci, io sono convinto che sia Rigel sia Gugo conoscono benissimo queste cose e quando dico di lasciarli stare ovviamente scherzo.
Personalmente, avendo fatto un certo numero di esami di fisica teorica, non mi trovo a disagio con le notazioni "dei fisici" (anzi, semmai il contrario). La cosa importante è avere almeno idea di cosa ci sia sotto le notazioni.
Stesso dicasi per me (anche se non ho fatto esami di Fisica Teorica)... Nonostante la barba ormai lunga, non sono un talebano!
@dissonance: E si capisce che scherzi!
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