Dubbio sulla definizione topologica del limite

[Lodosage]

La definizione topologica del limite è questa :
si dice che $lim_(x -> c )f(x)=l$ se per ogni intorno $U_l$ di $l$ esiste un intorno $U_c$ di $c$ tale che: qualunque sia $x$ appartenente a $U_c$ si ha che $f(x)$ appartiene a $U_l$

quindi in pratica sta dicendo che a tutti gli elementi dell'intorno $U_l$ corrisponde un elemento nell'intorno $U_c$, ma quindi si intende anche che $f(c)$ sia uguale ad $l$?

[Luca.Lussardi]

Si.

[donald_zeka]

Direi proprio di no...

[Luca.Lussardi]

Io direi di si, l'intorno non e' "bucato", con questa definizione di limite, per altro per certi versi piu' idonea della solita, se il limite in un punto del dominio esiste necessariamente la funzione e' ivi continua.

[donald_zeka]

A me questa pare la definizione di funzione continua in un punto, per parlare di limite bisognerebbe che tale punto sia di accumulazione nel suo insieme, e inoltre non è richiesto che f sia definita in c, o almeno così lo insegnano nell'analisi reale standard, se poi ti riferisci a concetti più estesi in cui i matematici dicono un po' cosa gli pare forse è vero...ma credo che l'autore del post sia ad un livello standard.
Poi chiaramente quando il punto è di accumulazione e f è definita in c le continuità e limite coincidono...ma non vedo l'utilità di abolire del tutto il limite.

[Luca.Lussardi]

No, lui ha riportato la definizione corretta di limite per una funzione tra spazi topologici, non si chiede che l'intorno sia bucato, si chiede solo che $c$ sia aderente al dominio, non necessariamente di accumulazione. E' vero che c'e' un'asimmetria con l'analisi usuale, infatti io ai miei tempi in analisi 1 ho studiato gia' con questa definizione nei punti aderenti.

[donald_zeka]

"Vulplasir":se poi ti riferisci a concetti più estesi in cui i matematici dicono un po' cosa gli pare forse è vero

Come non detto

[Lodosage]

forse ho riportato la definizione in modo un po' approssimativo, provo a mettere la premessa fatta dal libro che io ho omesso

"Sia $c$ appartenente ad R* (ovvero [-inf,+inf]) e sia $f$ una funzione definita almeno definitivamente per $x->c$."

prima di questa definizione il libro da anche quella di "definitivamente" e dice questo "diremo che una funzione f(x) ha una certa proprietà definitivamente per x->c se esiste un intorno U di c tale che la proprietà vale per f(x) per ogni x appartenente ad U, x diverso da c.

è quell'"x diverso da c" che frega?

[Luca.Lussardi]

L'utilita' della definizione nei punti aderenti invece che nei soli punti di accumulazione c'e'. Prima di tutto questa definizione "estesa" non tocca i limiti importanti, come la definizione di derivata, siccome se la funzione non e' definita in $c$ le due definizioni coincidono. Inoltre, con la definizione estesa hai una completa caratterizzazione del limite per successioni: $f$ ha limite $l$ per $x\to c$ se e solo se per ogni $x_h\to c$ si ha $f(x_h)\to c$ (in questa forma cosi' semplice questo enunciato non vale con la definizione alla Cauchy). Ancora, il teorema di composizione dei limiti e' vero con l'enunciato piu' semplice possibile, senza la necessita' di introdurre complicate ipotesi.

[Luca.Lussardi]

Per Leoddio: la definizione che hai riportato e' corretta ed e' quella che normalmente si usa per applicazioni tra spazi topologici.