Dubbio sulla definizione di differenziale
salve a tutti,
non riesco a capire un passaggio che riguarda la definizione di differenziale.
Il dubbio è questo:
Supponiamo che la definizione di funzione differenziabile sia quella "con la $L$" funzione lineare.
Supponiamo che $L(h)=(a,h)$ con $a,h\inR^n$. Fin qui tutto ok.
Poi il mio libro dice:
" Se $a=(a_1,...,a_n)$ fissato $i$ e posto $h=te_i=(0,...,t,...0)$ con $t\inR$abbiamo...etc"
Ecco, il punto che non mi torna è il "posto $h=te_i"
Cioè, si può fare?
Se per esempio ho $h=(1,2)$ e pongo $i=1$ ottengo che
$(1,2)=t(1,0)=(t,0)$ che è assurdo!
Cos'è che ho frainteso?
Grazie a tutti!
non riesco a capire un passaggio che riguarda la definizione di differenziale.
Il dubbio è questo:
Supponiamo che la definizione di funzione differenziabile sia quella "con la $L$" funzione lineare.
Supponiamo che $L(h)=(a,h)$ con $a,h\inR^n$. Fin qui tutto ok.
Poi il mio libro dice:
" Se $a=(a_1,...,a_n)$ fissato $i$ e posto $h=te_i=(0,...,t,...0)$ con $t\inR$abbiamo...etc"
Ecco, il punto che non mi torna è il "posto $h=te_i"
Cioè, si può fare?
Se per esempio ho $h=(1,2)$ e pongo $i=1$ ottengo che
$(1,2)=t(1,0)=(t,0)$ che è assurdo!
Cos'è che ho frainteso?
Grazie a tutti!
Risposte
E' chiaro che voleva dire "Sia $h=te_i$..." 
??
Scusami ma non ho capito....
Scusami ma non ho capito....
Cioè io prendo $t e_i$ e lo chiamo $h$, punto. Non è che qualunque $h$ lo posso scrivere come $te_i$ Se fosse come dici, $RR^n$ avrebbe dimensione 1, no? 
"amel":
Cioè io prendo $t e_i$ e lo chiamo $h$, punto. Non è che qualunque $h$ lo posso scrivere come $te_i$ Se fosse come dici, $RR^n$ avrebbe dimensione 1, no?
Sì, infatti, ma questo lo puoi fare se prendi prima $t e_i$ e poi lo chiami $h$.
Ma se invece scegli prima $h$ chi ti dice che la tua uguaglianza ha senso?
Forse non riesco a capire bene la tua domanda... 
$L$ è un'applicazione lineare con dominio $RR^n$, no? Quindi, scelgo $h$ arbitrariamente e faccio $L(h)$, stop.
Mi sa che non ho capito bene cosa chiedi, scusa...
$L$ è un'applicazione lineare con dominio $RR^n$, no? Quindi, scelgo $h$ arbitrariamente e faccio $L(h)$, stop.
Mi sa che non ho capito bene cosa chiedi, scusa...
"amel":
Forse non riesco a capire bene la tua domanda...
$L$ è un'applicazione lineare con dominio $RR^n$, no? Quindi, scelgo $h$ arbitrariamente e faccio $L(h)$, stop.
Mi sa che non ho capito bene cosa chiedi, scusa...
Mhhhhhhhhh....penso di aver capito male la definizione allora!!!
Mi potresti dire se la definizione che do di seguito (migliiorata nel senso che il tuo post mi suggeriva) è corretta?
Sia $f:AsubR^n\toR$, $x_0\inA$, A aperto.
$f$ si dice differenziabile in $x_0$ $Leftrightarrow$
$\EEL:R^n\toR$, $L$ lineare t.c. $\forallh\inR^n$ risulta
$\lim(h->0)(\frac(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))(||h||))=0$
Se tale definizione fosse corretta, allora il "per ogni h" mi farebbe sparire i dubbi che avevo .
Togli pure il $\forall h$, perchè compare nel limite. Per il resto è giusto.
Se intendi chiedere invece: "$(\frac(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))(||h||))$ è definito $\forall h$"? La risposta è ni, nel senso che $L(h)$ posso definirlo per ogni $h$ e $1/||h||$ posso definirlo per ogni $h!=0$, mentre $f(x_0+h)$ posso definirlo per ogni $h$ a patto che $x_0+h \in A$. Cioè $h$ deve essere sufficientemente vicino a 0. Ma è ok perchè il limite fa andare $h$ a 0, no?
Se intendi chiedere invece: "$(\frac(f(x_0+h)-f(x_0)-L(h))(||h||))$ è definito $\forall h$"? La risposta è ni, nel senso che $L(h)$ posso definirlo per ogni $h$ e $1/||h||$ posso definirlo per ogni $h!=0$, mentre $f(x_0+h)$ posso definirlo per ogni $h$ a patto che $x_0+h \in A$. Cioè $h$ deve essere sufficientemente vicino a 0. Ma è ok perchè il limite fa andare $h$ a 0, no?
Ho capito, grazie! 
Vabbè, visto che sto gia facendo domande banali, mi tolgo ogni dubbio andando proprio sull' "ovvio"
Secondo te è giusto dire che il limite vale "per ogni $h$" perchè se $v!=h$ il risultato del limite non cambia? Cioè, in pratica la variabile nel limite è come quella che si trova nelle sommatorie (se non sbaglio si dice "muta" no?)...
Vabbè, visto che sto gia facendo domande banali, mi tolgo ogni dubbio andando proprio sull' "ovvio"
Secondo te è giusto dire che il limite vale "per ogni $h$" perchè se $v!=h$ il risultato del limite non cambia? Cioè, in pratica la variabile nel limite è come quella che si trova nelle sommatorie (se non sbaglio si dice "muta" no?)...
Beh, che è una variabile "muta" direi che si può dire, il resto insomma... Comunque è lapalissiano dire che $lim_{x->x_0}f(x)$ o $lim_{y->x_0}f(y)$ è la stessa cosa. Vabbè fine cazzeggio.
Vabbè fine cazzeggio.
OK, ti ringrazio moltissimo!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo