Dubbio sulla continuità di funzioni in più variabili
Salve a tutti,
il dubbio che ho è questo: c'è un metodo "veloce" per poter affermare con sicurezza che una data funzione in 2
(per esempio) variabili è continua?
Cioè, per le funzioni di 1 variabile io ho delle funzioni di "base" (per esempio $sin(x),log(x),e^x,x$ etc...) per così dire; allora sapendo che la composizione, il prodotto,etc...
di funzioni continue è continua risolvo la faccenda (almeno per la maggior parte dei casi e/o punti).
Ma per le funzioni di 2 variabili quali sono le "funzioni base"?
Per esempio, se ho $f(x,y)=x+y$ com faccio a dire che è continua senza usare la definizione
(ammesso che sia possibile)?
Grazie!
il dubbio che ho è questo: c'è un metodo "veloce" per poter affermare con sicurezza che una data funzione in 2
(per esempio) variabili è continua?
Cioè, per le funzioni di 1 variabile io ho delle funzioni di "base" (per esempio $sin(x),log(x),e^x,x$ etc...) per così dire; allora sapendo che la composizione, il prodotto,etc...
di funzioni continue è continua risolvo la faccenda (almeno per la maggior parte dei casi e/o punti).
Ma per le funzioni di 2 variabili quali sono le "funzioni base"?
Per esempio, se ho $f(x,y)=x+y$ com faccio a dire che è continua senza usare la definizione
(ammesso che sia possibile)?
Grazie!
Risposte
La stessa cosa che nel caso monodimensionale. Per $x+y$ non c'è problema, infatti la somma è una applicazione $RR^2\to RR$ continua (e anche differenziabile a volontà). Come la somma anche il prodotto e il quoziente se il denominatore non si annulla. Combinando queste osservazioni hai che i polinomi, anche di più variabili, sono funzioni continue (e anche differenziabili); stessa cosa per le funzioni razionali se il denominatore non si annulla.
"dissonance":
Per $x+y$ non c'è problema
Ma come fai a dimostrarlo? Usando la definizione (in $R^2$)?
Se è così, quello che dici è che bisogna dimostrare usando la definizione che una certa classe di funzioni del tipo
$x+y,xy,x^y,...$ è continua, e poi per funzioni tipo $sin(x+y), log(x)y,...$ sfruttare il teorema della funzione composta?
Esatto. Nota che per $x^y$ non devi fare nulla, infatti è $x^y=e^{ylog x}$, e si può ottenere componendo esponenziali, logaritmi e prodotti, precisamente così:
$(x, y)\in (0, \infty) times (-infty, infty) \mapsto (log x, y) \mapsto y*logx \mapsto e^{y*log x}$.
Quindi l'applicazione $(x, y)\mapsto x^y$ si può ottenere come composizione di applicazioni continue ed è dunque continua.
Chiaro che nella pratica uno non sta ogni volta a fare tutta questa trafila, ma a rigore sarebbe necessario.
______________
E per quanto riguarda la somma: sì, puoi applicare direttamente la definizione con $epsilon, delta$; oppure puoi usare il teorema sul limite della somma di successioni, così:
sia $f:RR^2 \to RR,\ f(x, y)=x+y$. Prendiamo una successione $(x_n, y_n)$ in $RR^2$ convergente a $(x, y)$. Allora risulta che $x_n\to x,\ y_n\toy$; per il teorema sul limite della somma (in $RR$) è $x_n + y_n \to x+y$, ovvero $lim_{n\to \infty}f(x_n, y_n)=f(x, y)$. Data l'arbitrarietà della successione $(x_n, y_n)$ questo significa che $f$ è continua (si dice che è continua per successioni, questo equivale alla continuità per funzioni tra spazi metrici).
$(x, y)\in (0, \infty) times (-infty, infty) \mapsto (log x, y) \mapsto y*logx \mapsto e^{y*log x}$.
Quindi l'applicazione $(x, y)\mapsto x^y$ si può ottenere come composizione di applicazioni continue ed è dunque continua.
Chiaro che nella pratica uno non sta ogni volta a fare tutta questa trafila, ma a rigore sarebbe necessario.
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E per quanto riguarda la somma: sì, puoi applicare direttamente la definizione con $epsilon, delta$; oppure puoi usare il teorema sul limite della somma di successioni, così:
sia $f:RR^2 \to RR,\ f(x, y)=x+y$. Prendiamo una successione $(x_n, y_n)$ in $RR^2$ convergente a $(x, y)$. Allora risulta che $x_n\to x,\ y_n\toy$; per il teorema sul limite della somma (in $RR$) è $x_n + y_n \to x+y$, ovvero $lim_{n\to \infty}f(x_n, y_n)=f(x, y)$. Data l'arbitrarietà della successione $(x_n, y_n)$ questo significa che $f$ è continua (si dice che è continua per successioni, questo equivale alla continuità per funzioni tra spazi metrici).
Eheheh...ti ringrazio molto! Ora ho capito! 
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