Dubbio sull' epsilon delta nei limiti (pt2)

[urca2]

Ciao,

apro su suggerimento di @gugo82 una nuova discussione riguardo il dubbio di cui avevo parlato nella discussione https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=194300

Il teorema è sui limiti in più variabili:

Teorema:
Sia $F=(f_1,...,f_m)$ una funzione devinita su A contenuto in $R^n$ a valori in $R^m$, e sia $x'$ punto di accumulazione di A. Allora

$lim_(x->x')F(x)=l=(l1,...,l_m)$ se esolo se per ogni i= 1,...,m $lim x->x'f_i(x)=l_i$

Il dubbio è solo sulla (<=)

SUpponiamo che ogni $f_i$ tenda a $l_i$ per x tendente a x'. Dato $\epsilon>0$ sia $\delta_i>0$ t.c.

$x\inA\{x'}$, $||x-x'||<\delta_i => |f_i(x)-l_i|<\epsilon$

Preso $delta=min{\delta_i}$, si ha per $x\inA\{x'}$ , con $||x-x'||<\delta$;

$||F(x)-l||^2=(f_1(x)-l_1)^2+...<\epsilon^2+...+\epsilon^2=m\epsilon^2=m\epsilon^2$

Ossia: $||F(x)-l||<\sqrtm*\epsilon$ e dalla scelta arbitraria di epsilon segue la tesi.


Mi sembra quindi di partire, come dicevo nella discussione del link, da una epsilon e finire con una epsilon più grande dell'iniziale.

[urca2]

No non era un'obiezione alla tua dimostrazione che per me è un ipse dixit , era per capire se ho interpretato bene il passaggio logico. Il gioco è non tenere fisso $sigma$ ma dire per ogni sigma ho comunque un $c*sigma$ percui vale...

In altre parole:
$forall \sigma > 0$ trovo $c*sigma$ 1)

Quindi
$forall \c*sigma > 0,\ \exists \rho > 0:\quad 0<|x - x_0|<\rho \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$ 2)

In definitiva unendo 1), 2): $forall \sigma > 0,\ \exists \rho > 0:\quad 0<|x - x_0|<\rho \Rightarrow |f(x) - l| <\c\sigma$

E' questo il gioco che si nasconde dietro a quel passaggio?

[gugo82]

Sì.

[urca2]

Ti ringrazio molto per il tuo tempo!

Comunque sì, il problema era proprio qui

Scelto $sigma >0$, in corrispondenza del numero $epsilon := c sigma >0$ per ipotesi esiste un $delta = delta_epsilon = delta_(c sigma) >0$ tale che:
\[
0<|x - x_0|<\delta \Rightarrow |f(x) - l| <\varepsilon = c \sigma \;;
\]
quindi la tesi è verificata prendendo $rho=rho_sigma=delta_(c sigma)$. Vista l’arbitrarietà nella scelta di $sigma$, abbiamo la tesi.

mi ero persuaso che preso un sigma dovessi avere un delta dipendente da quel sigma inteso come soluzione della $|f(x)-l|c\sigma=>\delta_(c\sigma)$ che a conti fatti dipende comunque da sigma.
In generale basta trovare un $delta_(f(sigma))$ dalla $|f(x)-l|

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