Dubbio sul Teorema di Weierstrass

[iamagicd]

quando procedo con la dimostrazione, individuo inanzitutto che c'è una successione che tenda all'estremo superiore, ponendo una volta M=+oo e una volta M= l, unendo poi le due definizioni che ho trovato e dicendo poi che la f di questa successione tende sempre al sup. Ma quindi in parole povere io non stò facendo altro che dimostrare il Teorema dell'esistenza dell'Estremo superiore per quanto riguarda la Funzione, giusto?...

[Seneca1]

Dai un'occhiata qui.

[dissonance]

"Ma.Gi.Ca. D":io non stò facendo altro che dimostrare il Teorema dell'esistenza dell'Estremo superiore per quanto riguarda la Funzione, giusto?...

No. L'estremo superiore esiste sempre e su questo non ci piove: non serve nemmeno che la funzione sia continua. Il grosso problema è che l'estremo superiore potrebbe:

i) essere infinito;
ii) non essere un massimo.

Il teorema di Weierstrass ti garantisce che, se la funzione è continua in un insieme compatto, queste due eventualità non si verificano.

[iamagicd]

ah ok, quindi in pratica non stò dimostrando che deve esistere l'estremo superiore, ma che questo sia un massimo od un minimo...

[dissonance]

Ancora no. Tu dimostri che
i) il sup è in realtà un max;
ii) l'inf è in realtà un min.