Dubbio sul Teorema di Weierstrass
Salve matematici. Premetto che la matematica mi piace tantissimo ma purtroppo non sono nato con il dono di un'eccessiva intelligenza, quindi mi affido a voi.
Stavo studiando il teorema di weierstrass e mi è sorto questo dubbio:
1) Funzione continua in un intervallo => Funzione continua in ogni punto dell'intervallo
2) Funzione continua in un punto => limite per x tendente a quel punto è uguale al valore che la funzione assume in quel punto
3) Dal punto 2) si può dedurre che se la funzione è continua in x0 allora è anche definita in quel punto?
Se la precedente domanda è affermativa dovrebbe implicare che f(x0) appartiene ad R e quindi non può essere +inf
Secondo voi dove sbaglio?
Se non sono stato chiaro provo a riformulare la domanda. Grazie a tutti !
Stavo studiando il teorema di weierstrass e mi è sorto questo dubbio:
1) Funzione continua in un intervallo => Funzione continua in ogni punto dell'intervallo
2) Funzione continua in un punto => limite per x tendente a quel punto è uguale al valore che la funzione assume in quel punto
3) Dal punto 2) si può dedurre che se la funzione è continua in x0 allora è anche definita in quel punto?
Se la precedente domanda è affermativa dovrebbe implicare che f(x0) appartiene ad R e quindi non può essere +inf
Secondo voi dove sbaglio?
Se non sono stato chiaro provo a riformulare la domanda. Grazie a tutti !
Risposte
"eclipse-sk":
3) Dal punto 2) si può dedurre che se la funzione è continua in x0 allora è anche definita in quel punto?
certamente,se la funzione non esiste in $x_0$ non ha neanche senso chiedersi se sia continua in $x_0$
I concetti di continuità e discontinuità si applicano SOLO dove la funzione è definita. Una funzione non è nè continua nè tantomeno discontinua dove non è definita, semplicemente non è definita, punto e basta. Quindi se una funzione è continua in un punto o è ivi discontinua, in tutti e due i casi la funzione è definita in quel punto. Ma attenzione, questa non è una deduzione.
Ecco, è proprio quello che ho pensato anch'io. Ma allora non è scontato che una funzione continua in un intervallo [a,b] abbia estremo superiore in R ?
Il ragionamento che faccio è questo:
Se f è continua in [a,b] si sta ammettendo che è definita in tutti i punti di [a,b]. Ma allora se f è definita significa che f(x)
per x appartenente ad [a,b] non può essere +inf. Se non sbaglio f(x0) = +inf non ha senso.
In definitiva il mio ragionamento può essere usato per dimostrare che una funzione continua in un intervallo chiuso è anche limitata superiormente ?
Se si perchè nella dimostrazione che ho seguito non è altrettanto semplice e si fa uso di successioni convergenti e altre cose?
Comunque la dimostrazione è questa: https://www.youtube.com/watch?v=44_FWX9 ... _eZyTdoXjx (minuto 30 circa)
Grazie a tutti
Il ragionamento che faccio è questo:
Se f è continua in [a,b] si sta ammettendo che è definita in tutti i punti di [a,b]. Ma allora se f è definita significa che f(x)
per x appartenente ad [a,b] non può essere +inf. Se non sbaglio f(x0) = +inf non ha senso.
In definitiva il mio ragionamento può essere usato per dimostrare che una funzione continua in un intervallo chiuso è anche limitata superiormente ?
Se si perchè nella dimostrazione che ho seguito non è altrettanto semplice e si fa uso di successioni convergenti e altre cose?
Comunque la dimostrazione è questa: https://www.youtube.com/watch?v=44_FWX9 ... _eZyTdoXjx (minuto 30 circa)
Grazie a tutti
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