Dubbio sul teorema di Gauss
Ciao a tutti.
La domanda ha un contesto fisico, ma necessita di una risposta matematica, per quello ho postato qui. Potete saltare alle domande scritte in rosso, che è quello che mi serve, ma se non capite di cosa si parla, leggete il resto.
Ho appena cominciato il corso di fluidodinamica e non mi è chiaro un passaggio. Cerco di spiegarvi prima il contesto.
Si tratta di STATICA, innanzitutto. Abbiamo analizzato un fluido in condizioni statiche; quali forze agiscono su di esso?
-FORZA DI GRAVITA
-FORZE DI SUPERFICIE (dovute alla pressione esercitata dal volume di fluido esterno a quello considerato)
-FORZA MAGNETICA (che non consideriamo nella trattazione)
FORZA DI GRAVITA
Su un volumetto infinitesimo:
$d\vec G= \vecgdm=\vecg\rhodV$
Pertanto su tutto il volume considerato:
$\vecG=int_Vd\vecG=int_V\vecg\rhodV$
FORZE DI SUPERFICIE
Considerando una superficie infinitesima $dS$, la forza esercitata su di essa è il prodotto tra pressione (uguale in tutti i punti per la legge di Pascal) e la superficie, pertanto:
$dF=-pd\vecS=-pdS\vecn$
dove si considera che la superficie abbia un'orientazione, cioè la normale esterna $\vec n$, e la pressione viene esercitata dall'esterno verso l'interno della superficie, motivo per cui ci sta il segno meno.
E LA PRESSIONE, PER DEFINIZIONE, è UNO SCALARE.
Su tutta la superficiè la forza diventa:
$vec F=int_S-pdS\vecn$
Allora in quali condizioni si ha la staticità?
Quando la forza totale è nulla, cioè $\vecG+\vecF=0$
Ma non possiamo sommare un integrale di superficie con un integrale di volume. E qui sorge il problema. Secondo i passaggi che abbiamo fatto in classe, possiamo sfruttare il Teroema di Gauss, per far diventare l'integrale su superficie un integrale su volume, in questo modo:
$vecF=int_s-pdS vecn=int_V-nablap*dV$
Dove $nablap$ è il gradiente della pressione(uno scalare).
E da qui si fa la somma $vecG+vecF$e si ottengono dei risultati.....
Ma è giusto l'ultimo passaggio? I miei dubbi sono:
Forse ho solo qualche problema con la teoria, ma le cose non mi tornano
La domanda ha un contesto fisico, ma necessita di una risposta matematica, per quello ho postato qui. Potete saltare alle domande scritte in rosso, che è quello che mi serve, ma se non capite di cosa si parla, leggete il resto.
Ho appena cominciato il corso di fluidodinamica e non mi è chiaro un passaggio. Cerco di spiegarvi prima il contesto.
Si tratta di STATICA, innanzitutto. Abbiamo analizzato un fluido in condizioni statiche; quali forze agiscono su di esso?
-FORZA DI GRAVITA
-FORZE DI SUPERFICIE (dovute alla pressione esercitata dal volume di fluido esterno a quello considerato)
-FORZA MAGNETICA (che non consideriamo nella trattazione)
FORZA DI GRAVITA
Su un volumetto infinitesimo:
$d\vec G= \vecgdm=\vecg\rhodV$
Pertanto su tutto il volume considerato:
$\vecG=int_Vd\vecG=int_V\vecg\rhodV$
FORZE DI SUPERFICIE
Considerando una superficie infinitesima $dS$, la forza esercitata su di essa è il prodotto tra pressione (uguale in tutti i punti per la legge di Pascal) e la superficie, pertanto:
$dF=-pd\vecS=-pdS\vecn$
dove si considera che la superficie abbia un'orientazione, cioè la normale esterna $\vec n$, e la pressione viene esercitata dall'esterno verso l'interno della superficie, motivo per cui ci sta il segno meno.
E LA PRESSIONE, PER DEFINIZIONE, è UNO SCALARE.
Su tutta la superficiè la forza diventa:
$vec F=int_S-pdS\vecn$
Allora in quali condizioni si ha la staticità?
Quando la forza totale è nulla, cioè $\vecG+\vecF=0$
Ma non possiamo sommare un integrale di superficie con un integrale di volume. E qui sorge il problema. Secondo i passaggi che abbiamo fatto in classe, possiamo sfruttare il Teroema di Gauss, per far diventare l'integrale su superficie un integrale su volume, in questo modo:
$vecF=int_s-pdS vecn=int_V-nablap*dV$
Dove $nablap$ è il gradiente della pressione(uno scalare).
E da qui si fa la somma $vecG+vecF$e si ottengono dei risultati.....
Ma è giusto l'ultimo passaggio? I miei dubbi sono:
- Il teorema di Gauss non mette la divergenza invece che il gradiente?
Se così fosse non potrei fare la divergenza di uno scalare, giusto?
è corretto, dopo queste considerazioni (se giuste), dire che la pressione è uno scalare?[/list:u:37a0zbtw]
Forse ho solo qualche problema con la teoria, ma le cose non mi tornano
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