Dubbio sul teorema di Bolzano-Weierstrass

[Cantor99]

Salve, dimostrando il teorema di Bolzano-Weierstrass mi è sorto un dubbio. Il mio libro procede così: parte dal fatto che esistono $A$ e $B$ che limitano la successione dopodiché trova il punto medio $C$ e dice che "uno tra $[A;C]$ e $[C,B]$ contiene INFINITI termini". Applica poi le stesse considerazioni a questo intervallo re costruisce così l'estratta.

Ora se prendo la successione di termine generale
$a_n=\frac{1}{sqrt(7-n)}$
Tale successione è limitata da $\frac{1}{sqrt(7)}$ e $1$ e quindi rispetta le ipotesi. Una sua estratta potrebbe essere la successione che contiene solo i termini pari? Se sì la si costruisce differentemente dall'algoritmo della dimostrazione se ciò mi sembra strano

Ora considerando tutte le successioni con un numero finito di termini si ha questo problema (forse). D'altra parte nutro dei dubbi anche se su se $a_n$ sia una successione o meno...

Qual è la verità?

[killing_buddha]

\(n\mapsto \frac{1}{\sqrt{7-n}}\) non è una funzione da $NN$ a $RR$.

[Cantor99]

Perfetto, mentre se prendo invece
$a_n=\frac{1}{sqrt(n-7)}$
$b_n=\frac{1}{n-2}$
Che vanno da $N-{1,...,7}->RR$ e $NN-{2} ->RR$ si possono considerare successioni?

[killing_buddha]

Sì (\(\mathbb N\setminus\{2\}\) è, a tutti gli scopi a cui ti serve definire una successione, isomorfo a $NN$)

[Cantor99]

Quindi, correggimi se sbaglio, la definizione di successione deve essere una funzione di $a: n \in X \subNN ->a_n in RR$ con $X$ infinito (cioé equipotente a $NN$ in questo caso)?

[dissonance]

Secondo me non è importante che sia equipotente o meno, la cosa importante è che il dominio della successione sia un insieme della forma \(\{N, N+1, N+2, \ldots\}\). Devi tendere ad infinito, quindi ti serve avere tutta la "coda" dei numeri interi. Se questa coda parte da 1 o da diecimila non importa.

[killing_buddha]

Il termine corretto è che ti serve un sottoinsieme cofinale di \((\mathbb N,\le)\).

[Cantor99]

Benissimo, ringrazio entrambi