Dubbio sul teorema delle sfere incluse

[caffè1]

Nella dimostrazione di sufficienza, l'inclusione o successione delle sfere incluse le une nelle altre, non implica necessariamente che il punto che identifica il limite della successione sia il centro delle sfere (e quindi le sfere sono concentriche), giusto?
Cioè che le sfere hanno in generale i centri "posizionati" in punti diversi, anche se la dimostrazione di necessità non esclude il caso di sfere annidate aventi lo stesso centro, cioè concentriche. O no?

[dissonance]

Purtroppo manca l'ingrediente fondamentale e cioè l'enunciato del "teorema delle sfere incluse".

Comunque mi sa che ho capito di cosa parli. Se ${S_n}_{n \in NN}$ è una successione di sfere chiuse di $RR^n$ tali che $S_{n+1} \subset S_n$ allora la loro intersezione non è vuota. E' quello? Allora, naturalmente, la risposta alla tua domanda è: si, i centri non c'entrano nulla ( ). Si usa solo una proprietà topologica delle sfere: la compattezza. Il teorema resta vero, per esempio, se hai in luogo di $S_n$ una famiglia di quadrati, o di triangoli, del piano.

[Fioravante Patrone1]

Mi sa che è il risultato sulle sfere con diametro che va a zero, che vale in spazi metrici completi. Anche perché si parla di "il limite"

Comunque, un esempio che risponde alla curiosità: $S_n = [0, 1/n]$. Non sono sfere concentriche...

Nota: presumo che dissonance abbia scritto l'inclusione opposta a quella che voleva scrivere.

[dissonance]

Uuh che fesso. Si in primo luogo mi ero sbagliato nello scrivere l'inclusione. E poi mi pare plausibile che il teorema sia quello degli spazi metrici completi, nel qual caso la compattezza c'entra come Pilato nel Credo. Vabbé. Ci ho provato.

[caffè1]

Sì, il teorema è quello. Vi ringrazio, avete chiarito i miei dubbi.