Dubbio sul prodotto nella equazione di conservazione della massa

[ing.nunziom]

Perchè $\bar\nabla\cdot(\rho\vec{u})=\vec{u}\cdot\bar\nabla\rho+\rho\bar\nabla\cdot\vec{u}$?

[PadreBishop]

E' un'identità vettoriale che coinvolge la divergenza di un prodotto fra un campo scalare (quale è la densità) ed un campo vettoriale quale è la velocità.

A livello formale, è molto simile all'"ingenua" derivata di un prodotto, solo che i campi vettoriali in quel caso sono assegnati all'operatore divergenza, mentre quelli scalari sono all'operatore gradiente.
$ (fg)' = f'g+ gf'$

Se non sei soddisfatto del fatto che "in dimensione uno tutto torna", puoi mettere in evidenza gli indici di derivazione ed iniziare a sviluppare il membro destro e quello sinistro, fino ad ottenere un'identità.

[ing.nunziom]

Potresti consigliarmi qualcosa da leggere in merito?

[Raptorista1]

Più che leggere, conviene provare a fare il conto con gli indici espressi esplicitamente:
\[
\nabla(\rho \textbf u) = \sum_{i = 1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i} (\rho \textbf u) =
\sum \left(\textbf u \partial_i \rho + \rho \partial_i \textbf u \right) =
\textbf u \sum \left( \partial_i \rho \right) + \rho \sum \partial_i \textbf u =
\nabla \rho \cdot \textbf u + \rho \nabla \cdot \textbf u
\]

[ciampax]

Giusto per una questione notazionale e per evidenziare meglio le cose, l'identità precedente andrebbe scritta come
$$\nabla\bullet(\rho\cdot\vec{u})=\nabla\rho\bullet\vec{u}+\rho\cdot\nabla\bullet\vec{u}$$
dove il pallino pieno rappresenta il prodotto scalare tra vettori e il $\cdot$ il classico prodotto tra due scalari o tra scalare e vettore.

[ing.nunziom]

Vi ringrazio.