Dubbio sul procedimento. Studiare la serie...
Ho un dubbio nella risoluzione di questo esercizio. Il risultato mi viene eguale, ma non so se il procedimento è corretto.
Studiare la convergenza della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (1+\sin\frac{1}{n^2}) \)
L'ho risolta così
\(\displaystyle a_n=\ln (1+\sin\frac{1}{n^2}) \)
siccome \(\displaystyle \sin (\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n) \) e \(\displaystyle \ln(1+\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n) \) .. tutto questo quando \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon_n\rightarrow 0\)
sviluppo all'interno della parentesi e faccio l'asintotico \(\displaystyle a_n=\ln(1+\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))\sim \frac{1}{n^2}\)
siccome la serie \(\displaystyle \sum\frac{1}{n^2} \) CONVERGE .. allora anche la serie \(\displaystyle \sum a_n \) converge!
Studiare la convergenza della serie \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \ln (1+\sin\frac{1}{n^2}) \)
L'ho risolta così
\(\displaystyle a_n=\ln (1+\sin\frac{1}{n^2}) \)
siccome \(\displaystyle \sin (\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n) \) e \(\displaystyle \ln(1+\epsilon_n)=\epsilon_n+o(\epsilon_n) \) .. tutto questo quando \(\displaystyle n\rightarrow +\infty \) e \(\displaystyle \epsilon_n\rightarrow 0\)
sviluppo all'interno della parentesi e faccio l'asintotico \(\displaystyle a_n=\ln(1+\frac{1}{n^2}+o(\frac{1}{n^2}))\sim \frac{1}{n^2}\)
siccome la serie \(\displaystyle \sum\frac{1}{n^2} \) CONVERGE .. allora anche la serie \(\displaystyle \sum a_n \) converge!
Risposte
A me sembra corretto, nel senso che $\ln(1+\sin(1/n^{2})) \sim \sin(1/n^{2}) \sim 1/n^{2}$ per $n \to +\infty$. Ma aspetterei conferme.
Certo, va bene (in sostanza il tuo ragionamento si può compattare in quella mezza riga scritta da maxsiviero).
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