Dubbio sul massimo limite di una successione

[brownbetty1]

Salve a tutti.

Ho due successioni ${a_n}$ e ${b_n}$, la prima convergente ad $1$ e la seconda non per forza regolare. Perché si può scrivere che $maxlim(a_n * b_n) = lim(a_n)*maxlim(b_n)$ ?

Grazie in anticipo.

[brownbetty1]

Io, pensando al fatto che il massimo limite è un numero (un estremo superiore), scriverei che $maxlim(a_n) = lim(a_n)$ equivalente a $maxlim(a_n)*maxlim(b_n) = lim(a_n)*maxlim(b_n)$, ma nessuno mi assicura che $maxlim(a_n)*maxlim(b_n) = maxlim(a_n*b_n)$. Che fare ?

[regim]

Perche' qualunque sottosuccessione di $a_n$ converge, e sempre ad un numero maggiore di zero, $1>0$.... Se $ b_n= 1,0,1,0,1,0...$ ma $a_n -> -1$ non sarebbe vera l'uguaglianza.

[brownbetty1]

Ciao, grazie per la risposta, ma ancora non capisco ... io so solo che $maxlim(a_n) = lim(a_n) = 1 > 0$ come hai detto tu, e che esiste $maxlim(b_n)$ ma non so che segno abbia (anzi, visto che nella dimostrazione in cui ho questo dubbio è $b_n = |c_n|^(1/n)$, il segno dovrebbe essere positivo o zero).

[brownbetty1]

up

[regim]

"brownbetty":Ciao, grazie per la risposta, ma ancora non capisco ... io so solo che $maxlim(a_n) = lim(a_n) = 1 > 0$ come hai detto tu

Proprio perche' converge che puoi dire che ogni sua sottosuccessione converge allo stesso valore reale e maggiore di zero,in particolare qui $1>0$. Hai allora da una parte un insieme di reali che sono i limiti di sottosuccessioni di $b_n$ il cui estremo superiore e' il massimo limite, il quale puo' essere moltiplicato per 1 qui, rimanendo massimo limite anche per $a_n*b_n$. Diverso sarebbe se il limite di $a_n$ fosse stato negativo come l'esempio sopra, o nullo. La successione che hai scritto dopo, se non specifichi qualcos'altro su $c_n$, potrebbe essere convergente come divergente, o nessuna delle due, l'unica cosa che si puo' dire su di lei, e' che e' a termini positivi o nulli, comunque in ogni caso il suo massimo limite sarebbe maggiore o uguale a zero.

[brownbetty1]

Ok ora è tutto più chiaro. Sei stato gentilissimo, grazie per la pazienza avuta !!