Dubbio sul differenziale di un integrale

[xnix]

$x'= (x^2 - 1)/ (t^2 + 1)$ data l'equazione differenziale, utilizzando il metodo delle variabili separabili arriverei alla forma $\int 1/(x^2 -1) dx = \int1/(t^2 +1) dt$ se elevassi ambo i membri alla $-1$ avrei $\int (x^2 -1) dx^-1 = \int (t^2 +1) dt^-1$ o solo $\int (x^2 -1) dx = \int (t^2 +1) dt$...?

[Noisemaker]

\[\int (x^2 -1)^{-1} dx = \int (t^2 +1)^{-1} dt\]
....ma il motivo di questo passaggio?

[xnix]

$\int 1/(x^2 -1) dx$ perché questo integrale mi viene più difficile risolverlo rispetto agli altri.. cmq che tu sappia si può fare o no ciò che dico?

[Noisemaker]

come ti ho scritto sopra si può fare, ma ti ripeto che non ha senso in quanto quell'integrale si calcala facilmente con la scomposizione in fratti semplici:
\begin{align}
\int \frac{1}{x^2-1}\,\,dx=\int \frac{1}{(x -1)(x+1)}\,\,dx=\int \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-1}\,\,dx ....
\end{align}

[xnix]

ma se si può fare sarebbe più semplice ancora calcolare $\int x^2-1 dx=\int t^2+1dt$.. no? e comunque non verrebbe lo stesso risultato di $\int A/(x-1) + B/(x-1) dx$ quindi c'è qualcosa che non va..

[s.stuv]

"xnix":[...] $ \int 1/(x^2 -1) dx = \int1/(t^2 +1) dt $ se elevassi ambo i membri alla $ -1 $ avrei $ \int (x^2 -1) dx^-1 = \int (t^2 +1) dt^-1 $ o solo $ \int (x^2 -1) dx = \int (t^2 +1) dt $...?

Non si può assolutamente operare in questo modo. Quando sia definita una funzione integrale
\[
F(x) := \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt,
\]
nell'ipotesi che sia sempre \( F(x) \neq 0 \), il passaggio al reciproco produce semplicemente
\[
\bigg ( \int_{x_0}^{x} f(t) \, dt \bigg )^{-1} = \frac{1}{\int_{x_0}^{x} f(t) \, dt} = \frac{1}{F(x)}
\]
come al solito, ma certamente non \( \int_{x_0}^{x} \frac{1}{f(t)} \, dt \). Peraltro, è chiaro che
\[
\int \frac{1}{x^2 - 1} \, dx
\]
e
\[
\int (x^2 - 1) \, dx
\]
sono due classi di funzioni ben distinte. Il primo, che è quello di tuo interesse, può essere facilmente calcolato, come già ti facevano notare, per mezzo di una decomposizione in fratti semplici.

[xnix]

ok ok grazie