Dubbio sul differenziale
Ho ancora bisogno di voi su un concetto che mi affligge
Ho letto tutto il capitolo sul mio libro riguardo al differenziale:
per definizione una funzione è differenziabile in $x_0$ sse esiste c (costante) tale che valga
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-c*h)/h=0$
e c*h prende il nome di differenziale.
Che si può anche scrivere usando gli o-piccolo come:
$f(x_0+h)=f(x_0)+c*h+o(h)$ per h->0
Ho poi visto la dimostrazione del teorema del differenziale: "una funzione è differenziabile in x_0 sse è derivabile in ral punto"
e tra l'altro in particolare c assume il valore di f'(x_0), quindi $c*h$ sarebbe$f'(x_0)*h$
Detto questo mi accorgo di una cosa:
dato che $f'(x_0)=lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$ allora il differenziale
$f'(x_0)*h, h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
ossia
$(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*(lim_(h->0)h)=$
per algebra dei limiti
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))$
Il che mi sembra una cavolata, perché il differenziale non avrebbe senso scriverlo come $f'(x_0)*h, h->0$ sarebbe ridondante a questo punto essendo pari al valore $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))$, dove sbaglio -in questo mio volo mentale- non lo capisco
Ho letto tutto il capitolo sul mio libro riguardo al differenziale:
per definizione una funzione è differenziabile in $x_0$ sse esiste c (costante) tale che valga
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)-c*h)/h=0$
e c*h prende il nome di differenziale.
Che si può anche scrivere usando gli o-piccolo come:
$f(x_0+h)=f(x_0)+c*h+o(h)$ per h->0
Ho poi visto la dimostrazione del teorema del differenziale: "una funzione è differenziabile in x_0 sse è derivabile in ral punto"
e tra l'altro in particolare c assume il valore di f'(x_0), quindi $c*h$ sarebbe$f'(x_0)*h$
Detto questo mi accorgo di una cosa:
dato che $f'(x_0)=lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$ allora il differenziale
$f'(x_0)*h, h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
ossia
$(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*(lim_(h->0)h)=$
per algebra dei limiti
$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))$
Il che mi sembra una cavolata, perché il differenziale non avrebbe senso scriverlo come $f'(x_0)*h, h->0$ sarebbe ridondante a questo punto essendo pari al valore $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))$, dove sbaglio -in questo mio volo mentale- non lo capisco
Risposte
Ciao, non ho ben capito il tuo ragionamento alla fine, comunque tieni conto che se $h\ne 0$ allora $h \ne \lim_{h\to 0}h$.
Ciao 
PEr "alla fine" intendi il passaggio conclusivo o quello "a parole". Se lo evidenzi cerco di spiegarmi meglio o rileggerlo con cura.
Ti ringrazio e buona serata.
PEr "alla fine" intendi il passaggio conclusivo o quello "a parole". Se lo evidenzi cerco di spiegarmi meglio o rileggerlo con cura.
Ti ringrazio e buona serata.
Ho dato una rapida occhiata, ma quando dici di "accorgerti di una cosa", poi l' $o(h)$ sparisce, e probabilmente i problemi stanno lì. Prova a cercarti delle defizioni di differenziale migliori, dove per esempio si parla applicazioni lineari, ecc
Non confondere le variabili mute e quelle libere. Non puoi portare fuori la \(h\) dall'operazione di limite, se è una variabile muta:
\[
\tag{SENZA SENSO}
\lim_{h\to 0} h f(h) \stackrel{!}{=} h\lim_{h\to 0} f(h).\]
Concettualmente, è lo stesso errore di chi scrive
\[
f(x)=\int F(x)\, dx.\]
\[
\tag{SENZA SENSO}
\lim_{h\to 0} h f(h) \stackrel{!}{=} h\lim_{h\to 0} f(h).\]
Concettualmente, è lo stesso errore di chi scrive
\[
f(x)=\int F(x)\, dx.\]
Vi ringrazio molto per le tante risposte di aiuto, però dovete scusarmi ma ancora non riescoadaccorgermi dell'errore.
In particolare mi pare di aver capito che il passaggio che condannate sia
$f'(x_0)*h,h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
Tuttavia qui non sto portando fuori dal segno di limite h, sto solo applicando il risultato del teorema del differenziale il quale assicura che $c*h$ sarebbe $f'(x_0)*h$ a cui sostituisco la definizione di limite tramite rapporto incrementale con
f '(x)
Per inciso, non sto cercando di spiegare che la mia visione sia corretta, mi rendo conto di sbagliare, ma la mia ottusaggine non me lo permette al momento. Grazie per portarmi sulla retta via
In particolare mi pare di aver capito che il passaggio che condannate sia
$f'(x_0)*h,h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
Tuttavia qui non sto portando fuori dal segno di limite h, sto solo applicando il risultato del teorema del differenziale il quale assicura che $c*h$ sarebbe $f'(x_0)*h$ a cui sostituisco la definizione di limite tramite rapporto incrementale con
f '(x)
Per inciso, non sto cercando di spiegare che la mia visione sia corretta, mi rendo conto di sbagliare, ma la mia ottusaggine non me lo permette al momento. Grazie per portarmi sulla retta via
Non capisco perchè$ (lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*(lim_(h->0)h)= lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)) $
ti sembri una cavolata; comunque riprendendo quello che diceva feddy, il differenziale in $x_0$non è $c\cdot h$, ma (almeno che io sappia) l'applicazione lineare $df(x_0): \mathbb{R}\to \mathbb{R}, h \to c\cdot h$ dove $c=f'(x_0)$ (come dicevi tu).
Forse era questo che ti creava confusione...
ti sembri una cavolata; comunque riprendendo quello che diceva feddy, il differenziale in $x_0$non è $c\cdot h$, ma (almeno che io sappia) l'applicazione lineare $df(x_0): \mathbb{R}\to \mathbb{R}, h \to c\cdot h$ dove $c=f'(x_0)$ (come dicevi tu).
Forse era questo che ti creava confusione...
Mi sembra una cavolata nel senso che mi pare un modo ridondante, perché scrivere $f'(x)*h, h->0$ anziché $lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))$ direttamente? Se il ragionamento fatto in apertura (che mi sembra diciate esser errato, soprattutto grazie all'intervento di dissonance, e spero di capire dove grazie a voi) fosse corretto.
------
Tra l'altro discutendo con voi ho scoperto anche che avevo inteso male quel c (come una costante), non riesco ad afferrare cosa mi stia a significare quella applicazione lineare che hai scritto forse.
Devo dire che grazie a questa discussione ho avuto molti spunti, speriamo di chiarirli tutti che sono curiosissimo
------
Tra l'altro discutendo con voi ho scoperto anche che avevo inteso male quel c (come una costante), non riesco ad afferrare cosa mi stia a significare quella applicazione lineare che hai scritto forse.
Devo dire che grazie a questa discussione ho avuto molti spunti, speriamo di chiarirli tutti che sono curiosissimo
perché scrivere $ f'(x)*h, h->0 $ anziché $ lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0)) $ direttamente?.
Non saprei... entrambe le quantità valgono zero quindi a cosa ti servono esattamente?
non riesco ad afferrare cosa mi stia a significare quella applicazione lineare che hai scritto forse.
L'applicazione $df(x_0)$ è semplicemente la moltiplicazione per $f'(x_0)$ e mette in risalto che $\Delta f = f(x_0+h)-f(x_0)$ può essere approssimato da una funzione lineare in h a meno di un infinitesimo di ordine superiore ad h (inoltre questa nozione sarà utile per estendere il calcolo differenziale in più variabili).
Magari gli altri possono dire qualcosa in più (o correggermi); avevo letto sul Pagani-Salsa che il differenziale è più flessibile della derivata perchè gode dell'invarianza di forma, ma come ha scritto dissonance (qui: invarianza-di-forma-del-differenziale-e-sua-applicazione-t85911.html) "sembra un tentativo non troppo riuscito di dare veste rigorosa ad una classica procedura urang-utang".
@marco: Cosa sei andato a pescare! Dopo tanti anni credo di avere capito cosa volessero dire gli autori, ma è una cosa che appartiene alla sfera della geometria differenziale più che dell'analisi. Il fatto è che, se \(f\) è una funzione su una varietà, allora il differenziale si può definire a prescindere dalle coordinate, mentre le derivate parziali no.
L'applicazione $df(x_0)$ è semplicemente la moltiplicazione per $f'(x_0)$ e mette in risalto che $\Delta f = f(x_0+h)-f(x_0)$ può essere approssimato da una funzione lineare in h a meno di un infinitesimo di ordine superiore ad h (inoltre questa nozione sarà utile per estendere il calcolo differenziale in più variabili).
Penso che questa affermazione mi sarà utile approfondendo oltre, però posso affermare di aver capito. O per lo meno, mi pare.
Grazie
"dissonance":
Non confondere le variabili mute e quelle libere. Non puoi portare fuori la \(h\) dall'operazione di limite, se è una variabile muta:
\[
\tag{SENZA SENSO}
L'unica cosa che mi rimane dubbia è questa, non ho capito il passaggio in cui la notavi. Non mi pareva di aver svolto questo
"arnett":
Mi intrometto perché quel passaggio del Pagani-Salsa mi ha sempre destato sospetto e preoccupazione. Quella di @dissonance mi sembra la prima spiegazione plausibile che leggo, ma allora perché poi dicono che l'invarianza non vale per il differenziale secondo? E in che senso sarebbe "facile" da verificare?
Figurati, sono contento che la discussione sia servita ad altri
"vastità":Ecco qua
[...]
allora il differenziale
$f'(x_0)*h, h->0=(lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h)*h, h->0$
[...]
A membro destro compare \(\lim_{h\to 0}\), quindi \(h\) è una variabile muta, ma poi c'è anche una \(h\) fuori dal limite. Infine c'è anche un ridondante \(h\to 0\). Questa formula non ha senso.
Però per definizione f '(x) non è quel rapporto incrementale al limite? Mi sembra di aver fatto una semplice sostituzione come passaggio.
Contesto proprio la scrittura. Quella formula non significa niente.
Capito, grazie
"arnett":
Mi intrometto perché quel passaggio del Pagani-Salsa mi ha sempre destato sospetto e preoccupazione. Quella di @dissonance mi sembra la prima spiegazione plausibile che leggo, ma allora perché poi dicono che l'invarianza non vale per il differenziale secondo? E in che senso sarebbe "facile" da verificare?
Avrebbero fatto meglio a non scriverlo, su questo sono d'accordo. Comunque, la cosa è questa. Se \(f\) è una funzione su \(\mathbb R^n\), allora per qualsiasi sistema di coordinate \((x^1, x^2, \ldots, x^n)\) si ha che
\[
df= \sum_{j=1}^n \frac{ \partial f}{\partial x^j} dx^j.\]
Siccome il membro destro di questa equazione ha sempre la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate, gli autori se ne escono con questa "invarianza di forma", che probabilmente sarà un gergo della geometria differenziale più vecchiotta. (Sul libro di Spivak di geometria differenziale c'è un piccolo dizionario dalla geometria differenziale classica a quella moderna).
Invece le derivate parziali non hanno la stessa forma in tutti i sistemi di coordinate, si trasformano secondo la regola della catena. Quanto al differenziale secondo, esso sarebbe la matrice Hessiana. So che non ha una definizione invariante se non in corrispondenza di un punto critico, è una cosa fondamentale della cosiddetta "teoria di Morse", se ti interessa l'argomento prova a guardare sulle note di Liviu Nicolaescu: https://www.google.com/url?sa=t&rct=j&q ... XlVeqZnkUR
Ma non ti preoccupare, lascia perdere, non è una cosa molto importante.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo