Dubbio sul criterio della radice

[Sylent]

Salve ragazzi, ho un dubbio sul criterio della radice...ovvero, posso applicare il criterio della radice in una seria con termine generale sotto radice?

Mi faccio capire meglio postando la serie ed i passaggi che ho fatto:

$sum_(n = 1)^(+oo) (sqrt(n+1)-sqrtn)/(sqrt(n(n+1)))=sum_(n = 1)^(+oo)(sqrt(1/(n^2+n)))$

Da questo momento posso applicare il criterio della radice? Se sì, basta fare il limite del termine generale?

[DoppioZero]

Allora, non sono sicurissimo di questo: non vedo perchè usare tale criterio, in quanto abbiamo una radice quadrata, e non una radice n-esima
Di questo sono sicuro: il criterio della radice va usato quando $ n $ compare sia al numeratore che al denominatore. In questo caso, personalmente, procederei calcolando il limite della successione delle somme parziali.

[ostrogoto1]

Un metodo semplice per la serie in questione:

$ (sqrt(n+1)-sqrt(n))/sqrt(n(n+1))=(sqrt(n)[sqrt(1+1/n)-1])/(sqrt(n^2)sqrt(1+1/n))~(1/(2n))/sqrt(n)=1/(2n^(3/2)) $

serie convergente essendo l'esponente di n maggiore di 1.

Ho usato $ sqrt(1+1/n)=1+1/(2n)+... $ per $ nrarr+oo $

Userei il criterio della radice se compaiono esponenziali n-esimi o simili...in casi come la serie proposta mi sembra piu' semplice cosi'...