Dubbio sul cambio di variabili per il calcolo di un integrale
Data $ a>0 $ , Sia $ Q(a) $ il quadrato di centro l'origine con un lato dato dal segmento di estremi $ (0,a) $ e $ (a,0) $ .
Poniamo $ g(a):=int int_(Q(a))^() abs(x-y)dx dy $ . Calcolare g(a).
Avendo disegnato il quadrato
volevo usare, sotto suggerimento del Prof., il cambio di varibili.
Il mio professore ha posto $ u=x-y $ con $ -a<=u<=a $ e $ v=x+y $ con $ -a<=v<=a $ .
Successivamente
$ x=(u+v)/2 $ e $ y=(v-u)/2 $
e quindi (da qui l'ho fatto io controllate)
$ J(T)(u,v):=( ( 1/2 , 1/2 ),( -1/2 , 1/2 ) ) $ il cui $ det=1/2 $
a questo punto posso scrivere
$ g(a):=int (int_(hat(Q) (a))^() abs(u)*1/2du) dv =int_(-a)^(a) (int_(-a)^(a)abs(u)*1/2du) dv $
Il risultato che ci ha fornito è $ a^3 $ . Cioè come primo esempio non è molto intuitivo almeno per me....
DOMANDE
1)non dovevo porre $ u=x-y $ con $ -a<=u<=a $ e $ v=-x+y $ con $ -a<=v<=a $ ? Perchè x la prende sempre positiva lui?
Mi rendo conto che facendo come dico io poi se si sommano u e v viene 0 ok e quindi non posso trovare x e y in funzione di u e v ok, ma volevo capire la logica. Cioè il valore assoluto è di tutto non solo di y.
2)Una volta arrivati alla fine poi come lo risolvo questo valore assoluto che mi rimane ancora nell'integrale?
Per cortesia siate clementi ha fatto un esempio di numero a lezione, questo, dando solo l'inizio e dicendo quanto deve tornare. Grazie a chi mi darà una mano.
Poniamo $ g(a):=int int_(Q(a))^() abs(x-y)dx dy $ . Calcolare g(a).
Avendo disegnato il quadrato
volevo usare, sotto suggerimento del Prof., il cambio di varibili.
Il mio professore ha posto $ u=x-y $ con $ -a<=u<=a $ e $ v=x+y $ con $ -a<=v<=a $ .
Successivamente
$ x=(u+v)/2 $ e $ y=(v-u)/2 $
e quindi (da qui l'ho fatto io controllate)
$ J(T)(u,v):=( ( 1/2 , 1/2 ),( -1/2 , 1/2 ) ) $ il cui $ det=1/2 $
a questo punto posso scrivere
$ g(a):=int (int_(hat(Q) (a))^() abs(u)*1/2du) dv =int_(-a)^(a) (int_(-a)^(a)abs(u)*1/2du) dv $
Il risultato che ci ha fornito è $ a^3 $ . Cioè come primo esempio non è molto intuitivo almeno per me....
DOMANDE
1)non dovevo porre $ u=x-y $ con $ -a<=u<=a $ e $ v=-x+y $ con $ -a<=v<=a $ ? Perchè x la prende sempre positiva lui?
Mi rendo conto che facendo come dico io poi se si sommano u e v viene 0 ok e quindi non posso trovare x e y in funzione di u e v ok, ma volevo capire la logica. Cioè il valore assoluto è di tutto non solo di y.
2)Una volta arrivati alla fine poi come lo risolvo questo valore assoluto che mi rimane ancora nell'integrale?
Per cortesia siate clementi ha fatto un esempio di numero a lezione, questo, dando solo l'inizio e dicendo quanto deve tornare. Grazie a chi mi darà una mano.
Risposte
Nessuno?
ragazzi domani ho l'esame, non vi chiedo i calcoli ho impostato tutto basta che qualcuno più esperto mi dia un parere...
ma una volta capita la sostituzione di variabili il problema è finito...il modulo lo spezzi (come sempre si fa e stop)
$1/2int_(-a)^(a)dvint_(-a)^(a)|u|du=1/2int_(-a)^(a)dvint_(-a)^(o)-udu+1/2int_(-a)^(a)dvint_(0)^(a)udu=$
$a\cdota^2/2+a\cdota^2/2=a^3$
fine
$1/2int_(-a)^(a)dvint_(-a)^(a)|u|du=1/2int_(-a)^(a)dvint_(-a)^(o)-udu+1/2int_(-a)^(a)dvint_(0)^(a)udu=$
$a\cdota^2/2+a\cdota^2/2=a^3$
fine
Grazie mille ma è la sostituzione che non mi è chiara ho fatto apposta la domanda 
"davidcape":
Data
DOMANDE
1)non dovevo porre $ u=x-y $ con $ -a<=u<=a $ e $ v=-x+y $ con $ -a<=v<=a $ ? Perchè x la prende sempre positiva lui?
Mi rendo conto che facendo come dico io poi se si sommano u e v viene 0 ok e quindi non posso trovare x e y in funzione di u e v ok, ma volevo capire la logica. Cioè il valore assoluto è di tutto non solo di y.
2)Una volta arrivati alla fine poi come lo risolvo questo valore assoluto che mi rimane ancora nell'integrale?
Per cortesia siate clementi ha fatto un esempio di numero a lezione, questo, dando solo l'inizio e dicendo quanto deve tornare. Grazie a chi mi darà una mano.
allora sono io che non capisco cosa non capisci....
una volta scelta la sostituzione (e qui ci vuole un po' d'occhio....ma te l'ha suggerita lui)
da
${{: ( u=x-y ),( v=x+y ) :}$
risolvendo rispetto a x e y ottieni
${{: ( x=(u+v)/2 ),( y=(v-u)/2) :}$
quindi
$x-y=(u+v)/2-(v-u)/2=u$
ovvero $|x-y|=|u|$
************************
faccio presente che ho fatto così seguendo le indicazioni del tuo prof...ma il procedimento adottato è inutilmente complicato. Infatti, per il teorema dell'inversione locale è del tutto inutile invertire le due equazioni. Basterebbe infatti calcolare il determinante jacobiano così:
$[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialy) ),((partialv)/(partialx) , (partialv)/(partialy) ) ]=2$
e poi dividere per il $|detJ|$ invece che moltiplicare.....ottenendo lo stesso risultato con un unico e semplice passaggio.
saluti
una volta scelta la sostituzione (e qui ci vuole un po' d'occhio....ma te l'ha suggerita lui)
da
${{: ( u=x-y ),( v=x+y ) :}$
risolvendo rispetto a x e y ottieni
${{: ( x=(u+v)/2 ),( y=(v-u)/2) :}$
quindi
$x-y=(u+v)/2-(v-u)/2=u$
ovvero $|x-y|=|u|$
************************
faccio presente che ho fatto così seguendo le indicazioni del tuo prof...ma il procedimento adottato è inutilmente complicato. Infatti, per il teorema dell'inversione locale è del tutto inutile invertire le due equazioni. Basterebbe infatti calcolare il determinante jacobiano così:
$[ ( (partialu)/(partialx) , (partialu)/(partialy) ),((partialv)/(partialx) , (partialv)/(partialy) ) ]=2$
e poi dividere per il $|detJ|$ invece che moltiplicare.....ottenendo lo stesso risultato con un unico e semplice passaggio.
saluti
Io non capisco se la sostituzione può essere totalmente arbitraria oppure no. Io pensavo si dovessero mettere in base al valore assoluto della funzione iniziale cioè perché V non è -x+y?
Se traduci il dominio di partenza in sistemi di equazioni ti accorgi che la sostituzione proposta dal prof è una scelta obbligata
${{: ( x+y> -a ),( y-x
${{: ( y-x> -a ),( x+y0$
ovvero
${{: ( x+y> -a ),( x-y > -a) :} $
${{: ( x+y
che possiamo scrivere anche come
${{: ( -a
se non è chiaro così mi arrendo....
saluti
${{: ( x+y> -a ),( y-x
${{: ( y-x> -a ),( x+y0$
ovvero
${{: ( x+y> -a ),( x-y > -a) :} $
${{: ( x+y
che possiamo scrivere anche come
${{: ( -a
se non è chiaro così mi arrendo....
saluti
Ho capito perfettamente. È la prima volta che lo vedo e se mi omettono i passaggi non sono indovino. Ora posso farne 325 a questo modo. Grazie mille
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