Dubbio sul calcolo di un potenziale di un campo vettoriale
Salve a tutti.
Avrei un dubbio su un esercizio che sto facendo.
Ho un campo vettoriale $ vec(F) = (xsqrt(y), ysqrt(x)) $. Devo vedere in quali regioni del piano esso è conservativo e trovarne il potenziale $ U(x, y) $ .
Inoltre, devo trovare l'energia potenziale di una massa unitariia posta a distanza unitaria dall'origine, assumendo $ U(0, 0) $ = 0.
Allora.
Chiaramente il campo è definito solamente nel primo quadrante del piano cartesiano, che è semplicemente connesso. Quindi mi basta che il campo sia irrotazionale per far si che sia conservativo. Però, quando calcolo il rotore mi esce :
$ rotvec(F) = (0, 0, y-x) $ . Che significato ha tale rotore? Che il campo è non irrotazionale o che il campo sia irrotazionale solo quando $y = x$, ovvero sulla bisettrice del primo quadrante? Sarebbe giusto quest'ultimo ragionamento?
Ho pensato che se fosse irrotazionale solo quando $y = x$, allora il potenziale sarebbe definito solo in quella regione. Avrebbe senso?
Il secondo punto immagino lo debba fare usando il risultato del primo punto, ma siccome non ne sono certo vorrei evitare di fare cavolate, anche perchè mi è poco chiaro anche il secondo punto.
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie mille.
Avrei un dubbio su un esercizio che sto facendo.
Ho un campo vettoriale $ vec(F) = (xsqrt(y), ysqrt(x)) $. Devo vedere in quali regioni del piano esso è conservativo e trovarne il potenziale $ U(x, y) $ .
Inoltre, devo trovare l'energia potenziale di una massa unitariia posta a distanza unitaria dall'origine, assumendo $ U(0, 0) $ = 0.
Allora.
Chiaramente il campo è definito solamente nel primo quadrante del piano cartesiano, che è semplicemente connesso. Quindi mi basta che il campo sia irrotazionale per far si che sia conservativo. Però, quando calcolo il rotore mi esce :
$ rotvec(F) = (0, 0, y-x) $ . Che significato ha tale rotore? Che il campo è non irrotazionale o che il campo sia irrotazionale solo quando $y = x$, ovvero sulla bisettrice del primo quadrante? Sarebbe giusto quest'ultimo ragionamento?
Ho pensato che se fosse irrotazionale solo quando $y = x$, allora il potenziale sarebbe definito solo in quella regione. Avrebbe senso?
Il secondo punto immagino lo debba fare usando il risultato del primo punto, ma siccome non ne sono certo vorrei evitare di fare cavolate, anche perchè mi è poco chiaro anche il secondo punto.
Qualcuno potrebbe spiegarmelo?
Grazie mille.
Risposte
Posto \(F_1 = x\sqrt{y}\) e \(F_2 = y\sqrt{x}\) a me non risulta che \(\displaystyle\frac{\partial F_2}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial y}\) sia uguale a \(y - x\). Insomma \(\displaystyle\frac{d\sqrt{x}}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}}\).
Grazie per la risposta.
Si, anch'io trovai quel risultato, ma lo posi uguale a zero per far si il rotore sia nulla, ma penso che questo non abbia senso quello che dissi sull'esistenza del potenziale in una certa specifica regione. Quindi il potenziale non esiste?
Si, anch'io trovai quel risultato, ma lo posi uguale a zero per far si il rotore sia nulla, ma penso che questo non abbia senso quello che dissi sull'esistenza del potenziale in una certa specifica regione. Quindi il potenziale non esiste?
@handuup
Confondi un po' i concetti.
Hai un campo, diciamo di forze, e se integri il moto di una particella lungo una curva/andamento a piacere ottieni la sua variazione di potenziale. Se la fai partire dal punto (0,0) e assumi il suo potenziale iniziale pari a zero (decidi tu un valore di riferimento) e la fai arrivare al punto (1,1) lungo una curva a parabola, otterrai (con l'integrale di linea) un valore che ti dice quanto lavoro è stato compiuto per farla arrivare in (1,1) e quindi la variazione di potenziale. Se scegli un sentiero diverso, in generale, il lavoro necessario per portarla in (1,1) cambia. In sintesi puoi sempre calcolare una variazione di potenziale in qualsiasi campo.
Se però il campo è conservativo, allora la variazione di potenziale non dipende dal cammino scelto e in questo caso possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale e quindi conviene ricavarci la funzione potenziale...che deve esistere e ci semplifica i conti.
Se la forma differenziale è chiusa, allora il rotore è sempre pari a zero e il campo è irrotazionale: parafrasando matematicamente, le derivate miste coincidono e quindi siamo in presenza di un campo gradiente, ovvero è il gradiente di una funzione...che possiamo ricavarci.
Non è il nostro caso....in generale.
Però, se consideriamo l'insieme di punti $y=x$ possiamo affermare che lungo questo sentiero le forze agenti sulla particella non inducono alcun movimento rotatorio (accelerazione angolare): se la massa già ruotava, il suo momento angolare resterà inerzialmente costante. L'energia totale della particella è data dalla somma dell'energia potenziale e della sua energia cinetica (che a sua volta è somma della sua energia cinetica dovuta al momento angolare e a quello del moto). Ma dato che il momento angolare in questa direzione è costante, abbiamo che la variazione di potenziale dipende solo dal moto (rettilineo in questo caso) e da come le forze si "oppongono" o "favoriscono" (accelerano) la passeggiata della particella.
Ora capisci meglio perchè in un campo rotazionale l'equazione dell'energia totale dipenda da come le forze in gioco accelerino la particella sia nella direzione del moto che il suo momento angolare e quindi l'energia potenziale finale cambi a seconda del percorso scelto.
P.S. Visto che la fisica non è assolutamente il mio campo, spero che gli utenti correggano eventuali strafalcioni.
Confondi un po' i concetti.
Hai un campo, diciamo di forze, e se integri il moto di una particella lungo una curva/andamento a piacere ottieni la sua variazione di potenziale. Se la fai partire dal punto (0,0) e assumi il suo potenziale iniziale pari a zero (decidi tu un valore di riferimento) e la fai arrivare al punto (1,1) lungo una curva a parabola, otterrai (con l'integrale di linea) un valore che ti dice quanto lavoro è stato compiuto per farla arrivare in (1,1) e quindi la variazione di potenziale. Se scegli un sentiero diverso, in generale, il lavoro necessario per portarla in (1,1) cambia. In sintesi puoi sempre calcolare una variazione di potenziale in qualsiasi campo.
Se però il campo è conservativo, allora la variazione di potenziale non dipende dal cammino scelto e in questo caso possiamo applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale e quindi conviene ricavarci la funzione potenziale...che deve esistere e ci semplifica i conti.
Se la forma differenziale è chiusa, allora il rotore è sempre pari a zero e il campo è irrotazionale: parafrasando matematicamente, le derivate miste coincidono e quindi siamo in presenza di un campo gradiente, ovvero è il gradiente di una funzione...che possiamo ricavarci.
Non è il nostro caso....in generale.
Però, se consideriamo l'insieme di punti $y=x$ possiamo affermare che lungo questo sentiero le forze agenti sulla particella non inducono alcun movimento rotatorio (accelerazione angolare): se la massa già ruotava, il suo momento angolare resterà inerzialmente costante. L'energia totale della particella è data dalla somma dell'energia potenziale e della sua energia cinetica (che a sua volta è somma della sua energia cinetica dovuta al momento angolare e a quello del moto). Ma dato che il momento angolare in questa direzione è costante, abbiamo che la variazione di potenziale dipende solo dal moto (rettilineo in questo caso) e da come le forze si "oppongono" o "favoriscono" (accelerano) la passeggiata della particella.
Ora capisci meglio perchè in un campo rotazionale l'equazione dell'energia totale dipenda da come le forze in gioco accelerino la particella sia nella direzione del moto che il suo momento angolare e quindi l'energia potenziale finale cambi a seconda del percorso scelto.
P.S. Visto che la fisica non è assolutamente il mio campo, spero che gli utenti correggano eventuali strafalcioni.
@Bokonon: non credo che lungo la semiretta $x=y$ tu possa concludere nulla. Il calcolo differenziale si fa sugli aperti. Ha senso dire che un campo vettoriale è irrotazionale *su un aperto*.
Insomma, la mia conclusione è che quel campo vettoriale non ammette un potenziale da nessuna parte.
Ho pensato che se fosse irrotazionale solo quando y=x, allora il potenziale sarebbe definito solo in quella regione. Avrebbe senso?Come dicevo sopra, secondo me no. Il campo vettoriale si riduce a \((x\sqrt x, x\sqrt x)\). Il suo potenziale dovrebbe essere una funzione \(F\) tale che \(\nabla F=(x\sqrt x, x\sqrt x)\), ma cosa significa \(\nabla F\)? Per essere ancora più concreto, la funzione dovrebbe essere \(F(x, x)=\frac{2x^\frac52}{5}\), ma questa è una funzione di una sola variabile.
Insomma, la mia conclusione è che quel campo vettoriale non ammette un potenziale da nessuna parte.
Il campo non è dotato di potenziali; per capire perché bisogna conoscere la teoria. Ti consiglio di rileggere per bene gli enunciati dei teoremi.
Quindi, il potenziale te lo puoi scordare.
Da dov'è preso l'esercizio? Sicuro del testo?
***
Rendiamo un po' più significativa la cosa...
Esercizio:
Dire se esistono coppie $(alpha, beta) in RR^2$ tali che il campo vettoriale $mathbf(F)$ definito in $Omega := \{ (x,y) in RR^2:\ x,y> 0\}$ ponendo:
$mathbf(F)(x,y) := (x y^alpha, y x^beta)$
sia conservativo in $Omega$ e, in tali casi, calcolarne le primitive.
Quindi, il potenziale te lo puoi scordare.
Da dov'è preso l'esercizio? Sicuro del testo?
***
Rendiamo un po' più significativa la cosa...
Esercizio:
Dire se esistono coppie $(alpha, beta) in RR^2$ tali che il campo vettoriale $mathbf(F)$ definito in $Omega := \{ (x,y) in RR^2:\ x,y> 0\}$ ponendo:
$mathbf(F)(x,y) := (x y^alpha, y x^beta)$
sia conservativo in $Omega$ e, in tali casi, calcolarne le primitive.
"handuup":
Grazie per la risposta.
Si, anch'io trovai quel risultato, ma lo posi uguale a zero per far si il rotore sia nulla, ma penso che questo non abbia senso quello che dissi sull'esistenza del potenziale in una certa specifica regione. Quindi il potenziale non esiste?
Ma se hai trovato il valore giusto perché lo hai cambiato? Che le soluzioni di \(\mathrm{rot}\,\mathbf{F} = \mathbf{0}\) siano \((x^{\frac32} = y^{\frac32})\wedge (x \neq 0)\) non cambia il fatto che hai riportato il valore sbagliato.
Comunque sì, un campo irrotazionale su un intorno aperto di \(\mathbb{R}^2\) è conservativo su quell'intorno. Ma qui hai qualcosa che non è né aperto né chiuso (in \(\mathbb{R}^2\)).
"dissonance":
@Bokonon: non credo che lungo la semiretta $x=y$ tu possa concludere nulla. Il calcolo differenziale si fa sugli aperti. Ha senso dire che un campo vettoriale è irrotazionale *su un aperto*.
Vero
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