Dubbio sul calcolo di un limite
Salve,
Il mio quesito è:
supponendo di dover calcolare $\lim_{(0,0)}x\ln |y-3|$, ponendo $t=y-3$, se restringiamo a $t=mx^\alpha$ vediamo che $\lim_{(0,0)} x\ln |mx^\alpha|=0$ e ciò non ci aiuta a trovare il limite di $x\ln |t|$.
La prof. allora considera come curva $t=e^{-\frac{1}{x}}$ e quindi $\lim_{(0,0)} x\ln (e^{-\frac{1}{x}})=\lim_{(0,0)} x(-\frac{1}{x})=-1$. Pertanto avendo visto che in due restrizioni del dominio la funzione ha, per $(x,y)\to (0,0)$ limite diverso, possiamo dire che non esiste $\lim_{(0,0)}x\ln |y-3|$.
Ma io mi chiedo: in questo caso uno fa la "furbata" di vedere che c'è un logaritmo e scegliere la curva opportuna. Ma se uno intuitivamente non ci arriva, esiste un modo alternativo per costatare che quel limite non esiste?
Il mio quesito è:
supponendo di dover calcolare $\lim_{(0,0)}x\ln |y-3|$, ponendo $t=y-3$, se restringiamo a $t=mx^\alpha$ vediamo che $\lim_{(0,0)} x\ln |mx^\alpha|=0$ e ciò non ci aiuta a trovare il limite di $x\ln |t|$.
La prof. allora considera come curva $t=e^{-\frac{1}{x}}$ e quindi $\lim_{(0,0)} x\ln (e^{-\frac{1}{x}})=\lim_{(0,0)} x(-\frac{1}{x})=-1$. Pertanto avendo visto che in due restrizioni del dominio la funzione ha, per $(x,y)\to (0,0)$ limite diverso, possiamo dire che non esiste $\lim_{(0,0)}x\ln |y-3|$.
Ma io mi chiedo: in questo caso uno fa la "furbata" di vedere che c'è un logaritmo e scegliere la curva opportuna. Ma se uno intuitivamente non ci arriva, esiste un modo alternativo per costatare che quel limite non esiste?
Risposte
Nei limiti a due variabili si va molto più a "furbate" rispetto a quelli a una variabile. Solitamente per dimostrare che un limite non esiste, si procede considerano due restrizioni diverse. Oppure, passando in coordinate polari, se il limite ti viene dipendente dall'angolo, allora non esiste.
Ad esempio [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x+y}{x-y}=\lim_{\rho \to 0} \frac{\cos \theta +\sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta}=\frac{\cos \theta +\sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$[/tex], allora non esiste.
Invece, senza passare in coord. polari, avresti potuto considerare le restrizioni del tipo [tex]$(x, mx)$[/tex] e vedere che il risultato dipendeva da [tex]$m$[/tex].
Ad esempio [tex]$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x+y}{x-y}=\lim_{\rho \to 0} \frac{\cos \theta +\sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta}=\frac{\cos \theta +\sin \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$[/tex], allora non esiste.
Invece, senza passare in coord. polari, avresti potuto considerare le restrizioni del tipo [tex]$(x, mx)$[/tex] e vedere che il risultato dipendeva da [tex]$m$[/tex].
Aspetta, io quest'ultima parte che dici tu l'ho fatta:
ossia: [tex]$\lim_{(0,0)} x\ln |mx^\alpha|=\lim_{(0,0)} x\ln |m|+x\alpha \ln |x|=0$[/tex] ossia il limite della funzione $g(x,t)$ ottenuta ponendo [tex]$y-3=t$[/tex].
Comunque sia:
Se applico il metodo delle coordinate polari allora dovrei costatare che [tex]$\lim_{(0,0)} x\ln |y-3|=\lim_{\rho\to 0} \cos (\beta) \ln|\sin (\beta)-3|$[/tex] dipende da $\beta$ e quindi non esiste ?
"Orlok":
supponendo di dover calcolare [tex]\lim_{(0,0)}x\ln |y-3|$[/tex], ponendo [tex]$t=y-3$[/tex], se restringiamo a $t=mx^\alpha$ vediamo che [tex]$\lim_{(0,0)} x\ln |mx^\alpha|=0$[/tex] e ciò non ci aiuta a trovare il limite di [tex]$x\ln |t|$[/tex].
ossia: [tex]$\lim_{(0,0)} x\ln |mx^\alpha|=\lim_{(0,0)} x\ln |m|+x\alpha \ln |x|=0$[/tex] ossia il limite della funzione $g(x,t)$ ottenuta ponendo [tex]$y-3=t$[/tex].
Comunque sia:
Se applico il metodo delle coordinate polari allora dovrei costatare che [tex]$\lim_{(0,0)} x\ln |y-3|=\lim_{\rho\to 0} \cos (\beta) \ln|\sin (\beta)-3|$[/tex] dipende da $\beta$ e quindi non esiste ?
Io stavo parlando in generale.
Ma quel limite devi calcolarlo per [tex]$(x,y) \to (0,3)$[/tex] immagino. Perché in [tex]$(0,0)$[/tex] ti viene [tex]$0$[/tex] (mi riferisco alla prima espressione, prima del cambio di variabile). Comunque, in questo caso, mi sa che le coordinate polari, ti aiutano poco (attento all'ultimo passaggio, ti sei dimenticato [tex]$\rho$[/tex]; nel mio limite si semplificava, ma nel tuo no). Ti conviene cercare delle restrizioni adatte. Il fatto è che non c'è un metodo standard, se è questo che stai cercando. Devi avere occhio e capire quale restrizione è meglio scegliere. Non è detto che debba essere quella della tua prof, ne puoi trovare anche altre.
Supponiamo quindi che il tuo limite sia [tex]$\lim_{(x,t) \to (0,0)} x \log |t|$[/tex]. Potresti andare per esclusione. Ad esempio, ti rendi conto che tutte le restrizioni lineari hanno limite nullo. Così, più in generale, anche quelle del tipo [tex]$(x,mx^{\alpha})$[/tex] come hai calcolato. Allora, queste non ti aiutano a trovare un limite diverso. Passando in rassegna gli altri tipi di funzione, che non sono molti
, ti dovrebbe venire in mente che l'esponenziale potrebbe aiutarti, perché l'idea è quella di togliersi di mezzo il logaritmo, che viene sempre "neutralizzato" dalla x.
Ora non mi viene in mente una restrizione di un altro tipo, perché quella lungo una curva esponenziale mi sembra la più naturale.
Ma quel limite devi calcolarlo per [tex]$(x,y) \to (0,3)$[/tex] immagino. Perché in [tex]$(0,0)$[/tex] ti viene [tex]$0$[/tex] (mi riferisco alla prima espressione, prima del cambio di variabile). Comunque, in questo caso, mi sa che le coordinate polari, ti aiutano poco (attento all'ultimo passaggio, ti sei dimenticato [tex]$\rho$[/tex]; nel mio limite si semplificava, ma nel tuo no). Ti conviene cercare delle restrizioni adatte. Il fatto è che non c'è un metodo standard, se è questo che stai cercando. Devi avere occhio e capire quale restrizione è meglio scegliere. Non è detto che debba essere quella della tua prof, ne puoi trovare anche altre.
Supponiamo quindi che il tuo limite sia [tex]$\lim_{(x,t) \to (0,0)} x \log |t|$[/tex]. Potresti andare per esclusione. Ad esempio, ti rendi conto che tutte le restrizioni lineari hanno limite nullo. Così, più in generale, anche quelle del tipo [tex]$(x,mx^{\alpha})$[/tex] come hai calcolato. Allora, queste non ti aiutano a trovare un limite diverso. Passando in rassegna gli altri tipi di funzione, che non sono molti
, ti dovrebbe venire in mente che l'esponenziale potrebbe aiutarti, perché l'idea è quella di togliersi di mezzo il logaritmo, che viene sempre "neutralizzato" dalla x.Ora non mi viene in mente una restrizione di un altro tipo, perché quella lungo una curva esponenziale mi sembra la più naturale.
"Antimius":
Io stavo parlando in generale.
Il fatto è che non c'è un metodo standard, se è questo che stai cercando.
Era proprio questo che volevo sapere. Grazie 1000, adesso ho capito il concetto.
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