Dubbio sul calcolo dei punti critici

[demda]

Ciao a tutti, mi stavo esercitando in vista dell'esame ma sono rimasto bloccato su una parte dell'esercizio. Non riesco a capire come poter andare avanti, spero riusciate ad aiutarmi, grazie in anticipo.
Devo risolvere il seguente sistema per trovare i punti critici:

[tex]\begin{cases}
(y-e^x)(x-y+2)^2(-2e^x(x-y+2)+3(y-e^x)) &= 0 \\
(y-e^x)(x-y+2)^2(2(x-y+2)-3(y-e^x)) &= 0
\end{cases}[/tex]

Studiando i primi due fattori ho trovato come soluzione le curve di punti critici di equazione $y=e^x$ e $y=x+2$, mi resta tuttavia da studiare il seguente e tutti i tentativi che ho fatto sono stati vani:

[tex]\begin{cases}
-2e^x(x-y+2)+3(y-e^x) &= 0 \\
2(x-y+2)-3(y-e^x) &= 0
\end{cases}[/tex]

Ho provato a sostituire le seguenti $y=e^x$ e $y=x+2$, nel sistema ma non sono arrivato a nessuna conclusione, vorrei capire se esiste un metodo generale o quanto meno delle casistiche in cui si ragiona in un modo piuttosto che in un altro. Grazie ancora.

[moccidentale]

.

[demda]

"sellacollesella":Concordo con quanto hai scritto. A quel punto, la seconda equazione permette di esplicitare \(y\) in modo elementare, quindi sostituisci nella prima e scomponi in fattori. In tal modo un fattore ti permetterà di individuare un punto critico isolato, mentre gli altri due punti critici isolati non risultano esplicitabili elementarmente (puoi comunque approssimarli numericamente dopo un'ispezione grafica).

Il professore nella soluzione che ha fornito riesce a determinare tutti i 3 punti critici isolati senza ricorrere al metodo grafico, non me lo spiego.

[moccidentale]

.

[demda]

"sellacollesella":Tu hai già individuato due curve di punti critici: \(y = e^x\), \(y = x + 2\).

Poi, esplicitando \(y\) dalla seconda equazione: \(y = \frac{3\,e^x+2\,(x+2)}{5}\).

Quindi, sostituendo nella prima e fattorizzando si ottiene: \(\left(e^x-1\right)\left(x+2-e^x\right)=0\).

Il primo fattore porta ad individuare l'unico punto critico isolato: \(\left(0,\frac{7}{5}\right)\).

Il secondo fattore, invece, si annulla quando \(x+2 = e^x\), da cui \(y = \frac{3\,e^x+2\,e^x}{5}=e^x\).

Non è necessario approssimare, sono i punti critici in comune tra le due curve di cui sopra.

Fino al primo punto critico che hai trovato ci sono grazie mille. Il professore trova anche $(0,1)$ e $(0,2)$ il primo sostituendo $0$ a $e^x$ ma non capisco secondo quale criterio, il secondo buio totale

[moccidentale]

.

[demda]

"sellacollesella":Gli infiniti punti delle curve \(y=e^x\), \(y=x+2\) sono tutti critici.

\((0,1)\) è uno degli infiniti punti critici di \(y=e^x\).

\((0,2)\) è uno degli infiniti punti critici di \(y=x+2\).

Pertanto non sono punti critici isolati, fanno parte degli infiniti punti critici già determinati.

Sarebbe interessante capire quale sia il testo preciso dell'esercizio, potrebbe essere utile.

Come ho fatto a non accorgermene, ti ringrazio. Gia che ci sono ti mostro quest'altro "metodo" per arrivare a quel risultato magari mi dici se è "lecito".
Riscrivo la prima nel seguente modo: $e^x(-2x+2y-7)+3y=0$ è vera se e solo se $-2x+2y-7=-3y$ trovo quindi $y=2/5x+7/5$ sostituendo nella seconda trovo $x=0$ e sostituendo nell'equazione appena trovata ottengo $y=7/5$

[moccidentale]

.

[demda]

"sellacollesella":[quote="minghierid"]Come ho fatto a non accorgermene, ti ringrazio.

Prego!

"minghierid":Riscrivo la prima nel seguente modo: $ e^x(-2x+2y-7)+3y=0$,

Ok.

"minghierid":che è vera se e solo se $ -2x+2y-7=-3y$.

No, in quanto si ha $ -2x+2y-7=(-3y)/e^x$.

Piuttosto prova a sommare le due equazioni membro a membro, in tal modo potresti fare prima. [/quote]
Ok sto definitivamente dando i numeri, ti ringrazioe per l'aiuto.