Dubbio sul calcolo degli integrali impropri
Buonasera, ho dei dubbi su come calcolare gli integrali impropri. Potreste darmi delle delucidazioni
Facendo un esempio generale:
Dato $f(x), Dom f(x)=(-\infty,c)uu(c,+\infty)$ (il dominio l'ho fatto così in modo tale che si abbia un punto c in cui la funzione non è definita).
$\int_a^bf(x)dx$
CASO 1:
Se solo uno fra a o b sono $pm\infty$ oppure c (estremo non compreso del dominio).
esem: $\int_a^cf(x)dx$ oppure $\int_a^(+\infty)f(x)dx$
Si fa il limite dell'integrale definito considerando l'estremo che non fa parte del dominio di definizione tendente al suo valore, giusto?
$lim_{b \to c}\int_a^bf(x)dx$ oppure $lim_{b \to +\infty}\int_a^bf(x)dx$
Nel caso il limite è $pm\infty$ si dice che l'integrale non converge, giusto?
CASO 2:
Se nell'intervallo tra i due estremi di integrazione è presente una parte che non fa parte del dominio.
esem: $a
$\int_a^bf(x)dx$ = $\int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx$
Si fa solo questo e poi si calcolano i due integrali come nel CASO 1, calcolandoli attraverso i limiti?
CASO 3:
Questo è il caso su cui non ho alcuna idea su come operare, ovvero quello in cui entrambi gli estremi di integrazione sono al di fuori del dominio.
esem: $\int_c^(+\infty)f(x)dx$
Cosa devo fare in questo caso?
Facendo un esempio generale:
Dato $f(x), Dom f(x)=(-\infty,c)uu(c,+\infty)$ (il dominio l'ho fatto così in modo tale che si abbia un punto c in cui la funzione non è definita).
$\int_a^bf(x)dx$
CASO 1:
Se solo uno fra a o b sono $pm\infty$ oppure c (estremo non compreso del dominio).
esem: $\int_a^cf(x)dx$ oppure $\int_a^(+\infty)f(x)dx$
Si fa il limite dell'integrale definito considerando l'estremo che non fa parte del dominio di definizione tendente al suo valore, giusto?
$lim_{b \to c}\int_a^bf(x)dx$ oppure $lim_{b \to +\infty}\int_a^bf(x)dx$
Nel caso il limite è $pm\infty$ si dice che l'integrale non converge, giusto?
CASO 2:
Se nell'intervallo tra i due estremi di integrazione è presente una parte che non fa parte del dominio.
esem: $a
$\int_a^bf(x)dx$ = $\int_a^cf(x)dx + \int_c^bf(x)dx$
Si fa solo questo e poi si calcolano i due integrali come nel CASO 1, calcolandoli attraverso i limiti?
CASO 3:
Questo è il caso su cui non ho alcuna idea su come operare, ovvero quello in cui entrambi gli estremi di integrazione sono al di fuori del dominio.
esem: $\int_c^(+\infty)f(x)dx$
Cosa devo fare in questo caso?
Risposte
Per i primi due casi direi che sì, è corretto.
Per il caso 3 basta che spezzi, mettiamo che tu abbia da integrare in (2,+inf), allora scegli un punto "Non problematico" e fai la somma dei due integrali calcolandoli come due impropri di prima e seconda specie, il primo in (2,3] e l'altro tra [3,+inf)
Sperando di non aver detto cavolate perché sto preparando anche io analisi ora
Nel caso aspetta qualcuno più esperto
Per il caso 3 basta che spezzi, mettiamo che tu abbia da integrare in (2,+inf), allora scegli un punto "Non problematico" e fai la somma dei due integrali calcolandoli come due impropri di prima e seconda specie, il primo in (2,3] e l'altro tra [3,+inf)
Sperando di non aver detto cavolate perché sto preparando anche io analisi ora
Nel caso aspetta qualcuno più esperto
Grazie mille a tutti e due
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