Dubbio sui numeri complessi

[rinale84]

Ragazzi volevo chiedervi ma questa eguaglianza

|z^2+1|=|z|^2-1 è vera per qualunque z appartente a C?

[Mrhaha]

Ma sinceramento non penso proprio! Basta prendere $z=1$ e il due numeri sono diversi!

[rinale84]

|z^2+1|>=|z|^2-1 hai ragione...dovrebbe essere in questo modo...

[Mrhaha]

Mmmm... ci devo pensare! A prima vista sembrerebbe di si!

[Sk_Anonymous]

Intanto:

1. $[z=x+iy] rarr [z^2=(x^2-y^2)+i2xy] rarr [z^2+1=(x^2-y^2+1)+i2xy] rarr$

$rarr [|z^2+1|=sqrt((x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2)]$

2. $[z=x+iy] rarr [|z|=sqrt(x^2+y^2)] rarr [|z|^2=x^2+y^2] rarr [|z|^2-1=x^2+y^2-1]$

Quindi, se $[x^2+y^2-1<0]$, la tua disuguaglianza è senz'altro vera. Viceversa, se $[x^2+y^2-1>=0]$, sono necessari calcoli ulteriori:

$[|z^2+1|>=|z|^2-1] harr [sqrt((x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2)>=x^2+y^2-1] harr [(x^2-y^2+1)^2+4x^2y^2>=(x^2+y^2-1)^2] harr$

$harr [x^4+y^4+1-2x^2y^2+2x^2-2y^2+4x^2y^2>=x^4+y^4+1+2x^2y^2-2x^2-2y^2] harr [4x^2>=0]$

Come si vede, la disuguaglianza è vera anche nel secondo caso. Questo non toglie che, probabilmente, si potesse arrivare allo stesso risultato per via "geometrica".

[rinale84]

lo chiedevo perchè è una maggiorazione che si usa quando si fanno gli integrali con i residui di logx/(1+x^2) quando si applica il memma del cerchio grande per dimostrare che il limite per z che va all'infinito della funzione fa zero...