Dubbio sui numeri complessi

[Morpheus1]

Scusatemi per la banalità della questione, ma i numeri complessi sono sempre stati un po' il mio tallone d'Achille.

Ho due numeri complessi $z,w\inCC$ e ho questa equazione che li lega:
$\bar{z} w = -\bar{w}z$, dove ovviamente con $\bar{z}$ indico il complesso coniugato di $z$.

Allora cosa posso dire su $z$ e $w$? Mi basta questa equazione per avere una relazione tra $z$ e$w$?
Ad esempio se moltiplico a destra e a sinistra per $zw$ vanno via i complessi coniugati e restano i moduli quadri al loro posto:
$|z|^2 w^2 = -|w|^2 z^2$, che posso riscrivere come: $\frac{|z|^2}{|w|^2}= -\frac{z^2}{w^2}$

Quindi siccome a primo membro ho qualcosa che è reale, anche a secondo membro sarà reale: $\frac{z^2}{w^2} \in RR$
Questo mi autorizza a dire qualcosa sul fatto che siano o meno reali $z$ e $w$?

Grazie in anticipo a tutti.

[Morpheus1]

No che tra l'altro se fosse vero quello che ho detto l'equazione che ho scritto si ridurrebbe a dire $z^2 = -z^2$ con $z\inRR$, quindi dire $z=0$ che è un risultato che non posso accettare.

Qualcuno ha qualche idea più brillante della mia?

[gugo82]

Moltiplicando m.a.m. per [tex]$-z\ \overline{w}$[/tex] trovi [tex]$-|z|^2|w|^2=(z\ \overline{w})^2$[/tex], ergo [tex]$(z\ \overline{w})^2$[/tex] è reale e non negativo; ciò è possibile solo se [tex]$z\ \overline{w}$[/tex] è immaginario puro, ossia se si può scrivere [tex]$z\ \overline{w} =\alpha \ \imath$[/tex] con [tex]$\alpha \in \mathbb{R}$[/tex], e da ciò segue [tex]$z=\frac{\alpha}{|w|^2} \ (\imath \ w)$[/tex].
Non so se ti può essere utile, ma meglio di così non so fare al momento...

[Morpheus1]

Bè si è qualcosa sicuramente che mi fa comodo.
Anche perché a me serve un legame tra [tex]z[/tex] e [tex]w[/tex] quindi quello che mi hai dato tu è sicuramente interessante.

Magari dovrò sentire il mio prof. se una cosa del genere è buona per risolvere il mio problema. In ogni caso mi sei stato molto d'aiuto, ti ringrazio molto!

[Ska1]

Partendo da [tex]$\frac{|z|^2}{|w|^2}= -\frac{z^2}{w^2}$[/tex] e scrivendo [tex]$z, w$[/tex] in forma esponenziale puoi ricavare che [tex]$\angle z -\angle w = \frac{\pi}{2} + k\pi$[/tex] infatti avresti

[tex]$\frac{|z|^2}{|w|^2}= -\frac{z^2}{w^2}= -\frac{|z|^2}{|w|^2} e^{\imath 2 (\angle z -\angle w)}$[/tex] quindi per andare a compensare il segno meno nel membro di destra è necessario che [tex]$2 (\angle z -\angle w) = \pi + 2k\pi$[/tex]

Quindi hai che lo sfasamento relativo tra [tex]$z$[/tex] e [tex]$w$[/tex] è o [tex]$\frac \pi 2$[/tex] o [tex]$\frac 3 2 \pi$[/tex]

EDIT: ho notato che sostanzialmente è la stessa cosa detta da gugo82, espressa in termini di sfasamento, si ha che se [tex]$z \in \mathbb{R}$[/tex] allora[tex]$w \in \imath\mathbb{R}$[/tex] e viceversa.