Dubbio sui limiti in due (o più) variabili
Buonpomeriggio a tutti.
Oggi mi sto cimentando nello studio dei limiti in due variabili, e sto svolgendo alcuni esercizi che ci ha dato il professore di Analisi II. In generale, ho compreso come vanno risolti e la teoria che c'è dietro, tuttavia non mi è chiaro un aspetto fondamentale: è possibile dimostrare se un limite esiste? Dimostrare l'inesistenza, nel caso in cui non esista, non è complicato, perché basta sostituire in coordinare polari e mostrare la dipendenza da $ vartheta $ , oppure utilizzare due funzioni che esistono in quel punto mostrando che il limite viene diverso. Però per fare questo bisogna già sapere che il limite non esiste, e quando non si sa è facile cadere nell'errore. Faccio qualche esempio almeno vi metto in luce le mie ambiguità:
$(1)$
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2y)/(x+y) $
Sostituendo in coordinate polari viene:
$ lim_(rho -> 0+) (rho^2cos^2vartheta sinvartheta )/(cosvartheta +sinvartheta )=0 $
Tuttavia, verificando con Wolfram questo limite non esiste. Sfogliando sul Pagani-Salsa non sono riuscito a trovare (ma magari non ho letto con dovuta attenzione, in tal caso chiedo venia), un metodo per dimostrare l'esistenza del limite in modo certo così da poter poi procedere alla sostituzione con le coordinate polari.
Ve ne scrivo altri due che non mi sono venuti, in cui bisogna solo verificare l'inesistenza del limite. Grazie in anticipo per le risposte e per gli aiuti che mi darete.
$(2)$
$ lim_(x,y -> 0,0) (x^5+y^5 )/(x^2-y^2 )=lim_(rho->0) (rho^5(cos^5theta+sin^5theta))/(rho^2(cos^2theta-sin^2theta))=0 $
$(3)$
$ lim_(x,y -> 1,2) ((x-1)(y-2))/(x^2+y^2-2x-4y+5)=lim_(rho->0) (rho^2costhetasintheta)/(rhocostheta+rho^2sintheta+rho^2sin^2theta)=0 $
Ma in ambo i casi il limite non dovrebbe esistere.
Oggi mi sto cimentando nello studio dei limiti in due variabili, e sto svolgendo alcuni esercizi che ci ha dato il professore di Analisi II. In generale, ho compreso come vanno risolti e la teoria che c'è dietro, tuttavia non mi è chiaro un aspetto fondamentale: è possibile dimostrare se un limite esiste? Dimostrare l'inesistenza, nel caso in cui non esista, non è complicato, perché basta sostituire in coordinare polari e mostrare la dipendenza da $ vartheta $ , oppure utilizzare due funzioni che esistono in quel punto mostrando che il limite viene diverso. Però per fare questo bisogna già sapere che il limite non esiste, e quando non si sa è facile cadere nell'errore. Faccio qualche esempio almeno vi metto in luce le mie ambiguità:
$(1)$
$ lim_((x,y) -> (0,0)) (x^2y)/(x+y) $
Sostituendo in coordinate polari viene:
$ lim_(rho -> 0+) (rho^2cos^2vartheta sinvartheta )/(cosvartheta +sinvartheta )=0 $
Tuttavia, verificando con Wolfram questo limite non esiste. Sfogliando sul Pagani-Salsa non sono riuscito a trovare (ma magari non ho letto con dovuta attenzione, in tal caso chiedo venia), un metodo per dimostrare l'esistenza del limite in modo certo così da poter poi procedere alla sostituzione con le coordinate polari.
Ve ne scrivo altri due che non mi sono venuti, in cui bisogna solo verificare l'inesistenza del limite. Grazie in anticipo per le risposte e per gli aiuti che mi darete.
$(2)$
$ lim_(x,y -> 0,0) (x^5+y^5 )/(x^2-y^2 )=lim_(rho->0) (rho^5(cos^5theta+sin^5theta))/(rho^2(cos^2theta-sin^2theta))=0 $
$(3)$
$ lim_(x,y -> 1,2) ((x-1)(y-2))/(x^2+y^2-2x-4y+5)=lim_(rho->0) (rho^2costhetasintheta)/(rhocostheta+rho^2sintheta+rho^2sin^2theta)=0 $
Ma in ambo i casi il limite non dovrebbe esistere.
Risposte
Ammetti per assurdo che la prima funzione sia regolare intorno all'origine;
allora,per quanto hai osservato passando in coordinate polari,essa sarebbe ivi infinitesima:
la sua reciproca sarebbe dunque infinitamente grande (1)..
Ma se consideri l'applicazione con legge di def. $g(x,y)=|(x+y)/(x^2y)=1/(xy)+1/(x^2)|$,
avente il piano senza gli assi cartesiani come dominio massimo,
si nota subito che,in contrasto con la (1),essa tende a zero restringendone lo studio alla bisettrice del II° e IV° quadrante
(il quale contiene $O$..);
prova a fare un giochetto simile per il III° limite,magari osservando che,qualora esistesse,avremmo
$lim_((x,y) to (1,2))((x-1)(y-2))/(x^2+y^2-2y-4y+5)=lim_((t,z) to (0,0))(tz)/(t^2+z^2)$:
lo stratagemma per il II° mi pare infine simile,ma più "contoso",e ne lascio a te la ricerca come regalo di S.Stefano
!
Quell'algoritmo "sicuro" che cerchi,per concludere,se c'è non lo conosco:
o forse c'è e si chiama "esperienza conseguita grazie a sbattimenti sul muro di testa in fiamme,coadiuvata dall'istinto che svilupperai con l'esercizio"
..
Saluti dal web.
allora,per quanto hai osservato passando in coordinate polari,essa sarebbe ivi infinitesima:
la sua reciproca sarebbe dunque infinitamente grande (1)..
Ma se consideri l'applicazione con legge di def. $g(x,y)=|(x+y)/(x^2y)=1/(xy)+1/(x^2)|$,
avente il piano senza gli assi cartesiani come dominio massimo,
si nota subito che,in contrasto con la (1),essa tende a zero restringendone lo studio alla bisettrice del II° e IV° quadrante
(il quale contiene $O$..);
prova a fare un giochetto simile per il III° limite,magari osservando che,qualora esistesse,avremmo
$lim_((x,y) to (1,2))((x-1)(y-2))/(x^2+y^2-2y-4y+5)=lim_((t,z) to (0,0))(tz)/(t^2+z^2)$:
lo stratagemma per il II° mi pare infine simile,ma più "contoso",e ne lascio a te la ricerca come regalo di S.Stefano
!Quell'algoritmo "sicuro" che cerchi,per concludere,se c'è non lo conosco:
o forse c'è e si chiama "esperienza conseguita grazie a sbattimenti sul muro di testa in fiamme,coadiuvata dall'istinto che svilupperai con l'esercizio"
..Saluti dal web.
"theras":
Ammetti per assurdo che la prima funzione sia regolare intorno all'origine;
allora,per quanto hai osservato passando in coordinate polari,essa sarebbe ivi infinitesima:
la sua reciproca sarebbe dunque infinitamente grande (1)..
Ma se consideri l'applicazione con legge di def. $g(x,y)=|(x+y)/(x^2y)=1/(xy)+1/(x^2)|$,
avente il piano senza gli assi cartesiani come dominio massimo,
si nota subito che,in contrasto con la (1),essa tende a zero restringendone lo studio alla bisettrice del II° e IV° quadrante
(il quale contiene $O$..);
prova a fare un giochetto simile per il III° limite,magari osservando che,qualora esistesse,avremmo
$lim_((x,y) to (1,2))((x-1)(y-2))/(x^2+y^2-2y-4y+5)=lim_((t,z) to (0,0))(tz)/(t^2+z^2)$:
lo stratagemma per il II° mi pare infine simile,ma più "contoso",e ne lascio a te la ricerca come regalo di S.Stefano
Quell'algoritmo "sicuro" che cerchi,per concludere,se c'è non lo conosco:
o forse c'è e si chiama "esperienza conseguita grazie a sbattimenti sul muro di testa in fiamme,coadiuvata dall'istinto che svilupperai con l'esercizio"
Saluti dal web.
perdonami ma non ho capito il giochetto con la g che hai eseguito :S
"TeM":
Mi permetto di darti un suggerimento preliminare: Wolfram Alpha per i limiti in più variabili bandiscilo. Infatti non essendoci ancora la possibilità di risolverli nella versione completa installabile su pc, quella che trovi in quel sito è solo
la versione beta, quella di prova diciamo, e se con i limiti in una variabile hai una probabilità dell'80% circa di ottenere il risultato corretto per quelli in più variabili siamo attorno al 10% ... vedi te
Per quanto riguarda il Pagani-Salsa mi pare scontato che non hai letto bene, hai dato una sfogliata troppo veloce, perché è praticamente impossibile che non esponga la tecnica per mostrare l'esistenza dei limiti in più variabili. Ti allego in seguito il paragrafo in cui sono esposte le due tecniche fondamentali tratte dal Bramanti-Pagani-Salsa [pag. 354-355]Arrivando al nocciolo della domanda ti do un altro consiglio. Preliminarmente prova a mostrare che il limite non esiste dato che è la tecnica più semplice (generalmente, non sempre). Se con tale tecnica non riesci a concludere (dopo aver provato con fasci di rette, fasci di parabole [sia quelle parallele all'asse delle ordinate che a quello delle ascisse], avvicinandoti lungo gli assi prima da sinistra e poi da destra, etc.) allora passa alla seconda tecnica avendo già il sospetto a cosa possa tendere tale limite e che ora tenterai di mostrare.
A titolo d'esempio vediamo come approcciare tale algoritmo al primo limite che hai proposto.
$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x+y} $
Come appena detto proviamo a dimostrare preliminarmente la non esistenza. Cominciamo con l'avvicinarci all'origine lungo il fascio di rette centrato esattamente in \((0,\;0)\). In altre parole studiamo il seguente limite:
$ \lim_{(x,mx)\to(0,0)} \frac{x^2 mx}{x+xm} = \lim_{x\to0} \frac{mx^2}{1+m} = 0 $ per \(\forall m \in \mathbb{R}-\{-1\}\).
Occhio a non cadere nel più classico degli errori: ciò non significa che il limite tende a \(0\), è solo un sospetto che se rimarrà tale tenteremo di dimostrare con l'altra tecnica. Ora, a rigore, si dovrebbe tentare con le altre curve che ti ho elencato sopra. Fatto ciò, in questo caso, si rimane sempre nel solito dubbio. Ecco che passiamo all'altra tecnica provando a dimostrare che tale limite tende a \(0\). In particolare impostiamo la seguente serie di disuguaglianze
$ 0 <= |\frac{\rho^2\cos^2\theta\rho\sin\theta}{\rho\cos\theta + \rho\sin\theta} - 0| = |\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta}|\rho^2 <= \frac{\sqrt{6}}{9}\rho^2 \to 0 $ per $ \rho \to 0 $
dunque il limite esiste e vale $0$.
Bene, ora vedo che è già intervenuto @theras (a cui porgo i miei Auguri), dunque passo a lui la parola per il resto
P.S. tanti auguri anche a te
Grazie mille, sei stato chiarissimo!
Auguri a tutti quanti anche da parte mia.
"TeM":
Mi permetto di darti un suggerimento preliminare: Wolfram Alpha per i limiti in più variabili bandiscilo. Infatti non essendoci ancora la possibilità di risolverli nella versione completa installabile su pc, quella che trovi in quel sito è solo
la versione beta, quella di prova diciamo, e se con i limiti in una variabile hai una probabilità dell'80% circa di ottenere il risultato corretto per quelli in più variabili siamo attorno al 10% ... vedi te
Per quanto riguarda il Pagani-Salsa mi pare scontato che non hai letto bene, hai dato una sfogliata troppo veloce, perché è praticamente impossibile che non esponga la tecnica per mostrare l'esistenza dei limiti in più variabili. Ti allego in seguito il paragrafo in cui sono esposte le due tecniche fondamentali tratte dal Bramanti-Pagani-Salsa [pag. 354-355]Arrivando al nocciolo della domanda ti do un altro consiglio. Preliminarmente prova a mostrare che il limite non esiste dato che è la tecnica più semplice (generalmente, non sempre). Se con tale tecnica non riesci a concludere (dopo aver provato con fasci di rette, fasci di parabole [sia quelle parallele all'asse delle ordinate che a quello delle ascisse], avvicinandoti lungo gli assi prima da sinistra e poi da destra, etc.) allora passa alla seconda tecnica avendo già il sospetto a cosa possa tendere tale limite e che ora tenterai di mostrare.
A titolo d'esempio vediamo come approcciare tale algoritmo al primo limite che hai proposto.
$ \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2 y}{x+y} $
Come appena detto proviamo a dimostrare preliminarmente la non esistenza. Cominciamo con l'avvicinarci all'origine lungo il fascio di rette centrato esattamente in \((0,\;0)\). In altre parole studiamo il seguente limite:
$ \lim_{(x,mx)\to(0,0)} \frac{x^2 mx}{x+xm} = \lim_{x\to0} \frac{mx^2}{1+m} = 0 $ per \(\forall m \in \mathbb{R}-\{-1\}\).
Occhio a non cadere nel più classico degli errori: ciò non significa che il limite tende a \(0\), è solo un sospetto che se rimarrà tale tenteremo di dimostrare con l'altra tecnica. Ora, a rigore, si dovrebbe tentare con le altre curve che ti ho elencato sopra. Fatto ciò, in questo caso, si rimane sempre nel solito dubbio. Ecco che passiamo all'altra tecnica provando a dimostrare che tale limite tende a \(0\). In particolare impostiamo la seguente serie di disuguaglianze
$ 0 <= |\frac{\rho^2\cos^2\theta\rho\sin\theta}{\rho\cos\theta + \rho\sin\theta} - 0| = |\frac{\cos^2\theta\sin\theta}{\cos\theta + \sin\theta}|\rho^2 <= \frac{\sqrt{6}}{9}\rho^2 \to 0 $ per $ \rho \to 0 $
dunque il limite esiste e vale $0$.
Bene, ora vedo che è già intervenuto @theras (a cui porgo i miei Auguri), dunque passo a lui la parola per il resto
P.S. tanti auguri anche a te
Cmq sul pagani-salsa ho controllato e quella parte non c'è. Anzi, guardando il programma del mio corso, molte parti sono assenti su quel testo. Forse dovevo prendere il bramanti...
edit: Se qualcuno mi aiuta a trovare la spiegazione sul testo Pagani Salsa del calcolo dei limiti in due variabili, perché io sono riuscito a trovare solo un accenno a pagina 213 del libro 1, dove praticamente non spiega come si fanno, e questo fatto mi ha reso molto nervoso oggi.
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