Dubbio sui limiti con Taylor

[pepp1995]

Mi chiedo : se ho una funzione razionale e a seguito dello sviluppo di numeratore e denominatore mi ritrovo con un limite della forma : $lim x->0 (-(x^2)/4+o(x^2))/(x^2+o(x^2))$,, poi come si ragiona?

[francicko]

Semplicemente trascurando gli $o (x^2) $ che altro non sono che infinitesimi di grado maggiore di $2$, e che quindi tendono a zero più velocemente, pertanto additivamente sono quantità trascurabili, ed il limite è equivalente ad $lim_(x->0)(-x^2/4)/x^2=lim_(x->0)-x^2/(4x^2)=-1/4$

[pepp1995]

Questo discorso lo posso fare solo con opiccoli di stesso ordine (in caso di somma e di differenza) oppure anche con opiccoli di ordini diverso?

[francicko]

$o (x^n) $ altro non è che un abbreviazione che raccoglie appunto tutti i termini infinitesimi , il segno non ha importanza, dello sviluppo di grado strettamente maggiore di $n $, di ad esempio $o (x^2) $ include $o (x^3) $, mentre non viceversa ovviamente, ad esempio $lim_(x->0)(x^3+o (x^3))/(2x^2+o (x^2))=lim_(x->0)x^3/(2x^2)=0$

[pepp1995]

Chiaro .
Grazie mille =)