Dubbio sui limiti
Ciao 
,
vorrei discutere con qualcuno riguardo alcuni dubbi che mi tormentano sui limiti e che non riesco bene a formalizzare nel lato teorico. Insomma vorrei davvero capire la faccenda una volta per tutte dato che da solo non ci arrivo
Confronto di infiniti: mi è abbastanza chiaro che racogliendo l'infinito di ordine superiore spesso mi semplifichi la vita mandando a zero quelli di ordine inferiore. Tuttavia spesso capitano limiti come questo:
$lim_(x->oo) (ln(2x^2+5x))/(lnx^3-1)$ vedo risolverlo come $lim_(x->oo) (ln(2x^2))/(lnx^3)$ ma non capisco cosa mi consenta di eliminare dall'argomento del logaritmo il valore 5x
Il fatto è che quelmetodo di eliminare qualcosa che di "inutile" in un argomento mica sempre posso farlo, ad esempio il limite di nepero che se applico a pezzi mi ritrovo con $1^oo=1$ evidentemente errato.
Non riesco a capire quando posso o non posso applicarlo e ci casco spesso.
,vorrei discutere con qualcuno riguardo alcuni dubbi che mi tormentano sui limiti e che non riesco bene a formalizzare nel lato teorico. Insomma vorrei davvero capire la faccenda una volta per tutte dato che da solo non ci arrivo
Confronto di infiniti: mi è abbastanza chiaro che racogliendo l'infinito di ordine superiore spesso mi semplifichi la vita mandando a zero quelli di ordine inferiore. Tuttavia spesso capitano limiti come questo:
$lim_(x->oo) (ln(2x^2+5x))/(lnx^3-1)$ vedo risolverlo come $lim_(x->oo) (ln(2x^2))/(lnx^3)$ ma non capisco cosa mi consenta di eliminare dall'argomento del logaritmo il valore 5x
Il fatto è che quelmetodo di eliminare qualcosa che di "inutile" in un argomento mica sempre posso farlo, ad esempio il limite di nepero che se applico a pezzi mi ritrovo con $1^oo=1$ evidentemente errato.
Non riesco a capire quando posso o non posso applicarlo e ci casco spesso.
Risposte
Ciao! Quello che succede quando "elimini il $5x$" (frase da non dire mai in presenza di docenti) è questo: all'interno del logaritmo puoi scrivere $2x^2+5x=2x^2\left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)$, di conseguenza hai
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2+5x)}{\log(x^3)-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(2x^2\left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)\right)}{\log(x^3)-1}$$
Ora puoi applicare una proprietà dei logaritmi, quella relativa a un prodotto nell'argomento di un logaritmo, ottenendo
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(2x^2\left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)\right)}{\log(x^3)-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(x^3)-1}$$
Come puoi notare, al numeratore il primo logaritmo tende a $\infty$ e il secondo logaritmo tende a $0$; quindi tra i due quello dominante è il primo e pertanto raccoglierai quello. Torna?
Per il resto che hai scritto, hai un po' di confusione. Ti cito le parti che non vanno
Occhio, non puoi mandare al limite solo le variabili che vuoi. Per citare il mio docente: "non si va al limite a pezzi". Devi mandare tutto ciò che dipende da $x$ al limite, non solo "pezzi di funzione"; quindi devi portarti tutto dietro fino a che non elimini le forme indeterminate.
Attento che $1^{\infty}$ è una forma indeterminata, quindi non è vero che $1^{\infty}=1$; il modo rigoroso è quello di raccogliere gli "infiniti dominanti".
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2+5x)}{\log(x^3)-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(2x^2\left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)\right)}{\log(x^3)-1}$$
Ora puoi applicare una proprietà dei logaritmi, quella relativa a un prodotto nell'argomento di un logaritmo, ottenendo
$$\lim_{x \to \infty} \frac{\log\left(2x^2\left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)\right)}{\log(x^3)-1}=\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(x^3)-1}$$
Come puoi notare, al numeratore il primo logaritmo tende a $\infty$ e il secondo logaritmo tende a $0$; quindi tra i due quello dominante è il primo e pertanto raccoglierai quello. Torna?
Per il resto che hai scritto, hai un po' di confusione. Ti cito le parti che non vanno
"mat.pasc":
Infatti qui non posso fare qualcosa tipo (supponendo h(x) di ordine superiore a g(x)) : $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))$ e dico al tendere di h(x) a infinito mi ritrovo con $h(x)(1+0)$
Occhio, non puoi mandare al limite solo le variabili che vuoi. Per citare il mio docente: "non si va al limite a pezzi". Devi mandare tutto ciò che dipende da $x$ al limite, non solo "pezzi di funzione"; quindi devi portarti tutto dietro fino a che non elimini le forme indeterminate.
"mat.pasc":
Il fatto è che quelmetodo di eliminare qualcosa che di "inutile" in un argomento mica sempre posso farlo, ad esempio il limite di nepero che se applico a pezzi mi ritrovo con $1^oo=1$ evidentemente errato.
Attento che $1^{\infty}$ è una forma indeterminata, quindi non è vero che $1^{\infty}=1$; il modo rigoroso è quello di raccogliere gli "infiniti dominanti".
Ciao, grazie per la risposta vorrei però farti ancora alcune domande...
1) Nel mio procedimento avevo $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))$ raccolto come hai fatto tu nel logaritmo per portarti alla $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(x^3)-1}$.
Il punto ora è, se è sbagliato dire che quello tra parentesi nel mio esempio tende a uno mentre h(x) tende a infinito quindi il limite è infinito, come posso fare a concludere?
Io pensavo di aver applicato: $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))=lim_(x->oo)h(x)*lim_(x->oo)(1+(g(x))/(h(x)))=oo*1=oo$ (poiché siamo nell'hp che h(x) è di ordine superiore a g(x) quindi nel rapportoal limite si annulla) e di far la stessa cosa "spezzare" il limite anche nel logaritmo.
Insomma la domanda è: ma quindi come concludo formalmente e correttamente i due esempi succitati?
2) Nel caso del logaritmo mi è chiaro, però l'esercitatore aveva svolto anche $lim_(x->oo) (sqrt(e^x-2))/(sqrt(e^x+4x))=lim_(x->oo)sqrte^x/sqrte^x (** **)$ e anche qui mi turba perché non capisco che tipo di raccoglimento fare per far sparire -2 e +4x a num.e denom. Tu come faresti?
3) Il mio ultimo esempio sul limite di nepero: $lim(x->oo)(1+1/x)^x=e$ era per dire che è evidente come dici tu che svolgendolo a pezzi non funziona diventando $1^x, x->oo$ è una forma indeterminata, quindi non si può svolgere prima l'argomento e poi il resto del limite pena èche arrivi a una indeterminata. Quindi il discorso fatto era per dire che in esempi come nel logaritmo che aveva tolto una parte dall'argomento non mi tornava (ma ora formalmente con il tuo esempio ho capito) ma anche in $lim_(x->oo) (sqrt(e^x-2))/(sqrt(e^x+4x))$ a me sembra faccia sparire magicamente parti di argomento della funzione radice, e dicevo perché in nepero non funziona e in quella della radice si può fare? La risposta credo sia nel fatto che non li fa sparire magicamente ma usa trucchi come quello che hai fatto tu per il logaritmo anche su questa della radice (**)... ma quale? Non riesco a vederlo, potresti gentilmente mostrarmelo
.
Grazie ancora per la pazienza.
vorrei però farti ancora alcune domande...1) Nel mio procedimento avevo $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))$ raccolto come hai fatto tu nel logaritmo per portarti alla $\lim_{x \to \infty} \frac{\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(x^3)-1}$.
Il punto ora è, se è sbagliato dire che quello tra parentesi nel mio esempio tende a uno mentre h(x) tende a infinito quindi il limite è infinito, come posso fare a concludere?
Io pensavo di aver applicato: $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))=lim_(x->oo)h(x)*lim_(x->oo)(1+(g(x))/(h(x)))=oo*1=oo$ (poiché siamo nell'hp che h(x) è di ordine superiore a g(x) quindi nel rapportoal limite si annulla) e di far la stessa cosa "spezzare" il limite anche nel logaritmo.
Insomma la domanda è: ma quindi come concludo formalmente e correttamente i due esempi succitati?
2) Nel caso del logaritmo mi è chiaro, però l'esercitatore aveva svolto anche $lim_(x->oo) (sqrt(e^x-2))/(sqrt(e^x+4x))=lim_(x->oo)sqrte^x/sqrte^x (** **)$ e anche qui mi turba perché non capisco che tipo di raccoglimento fare per far sparire -2 e +4x a num.e denom. Tu come faresti?
3) Il mio ultimo esempio sul limite di nepero: $lim(x->oo)(1+1/x)^x=e$ era per dire che è evidente come dici tu che svolgendolo a pezzi non funziona diventando $1^x, x->oo$ è una forma indeterminata, quindi non si può svolgere prima l'argomento e poi il resto del limite pena èche arrivi a una indeterminata. Quindi il discorso fatto era per dire che in esempi come nel logaritmo che aveva tolto una parte dall'argomento non mi tornava (ma ora formalmente con il tuo esempio ho capito) ma anche in $lim_(x->oo) (sqrt(e^x-2))/(sqrt(e^x+4x))$ a me sembra faccia sparire magicamente parti di argomento della funzione radice, e dicevo perché in nepero non funziona e in quella della radice si può fare? La risposta credo sia nel fatto che non li fa sparire magicamente ma usa trucchi come quello che hai fatto tu per il logaritmo anche su questa della radice (**)... ma quale? Non riesco a vederlo, potresti gentilmente mostrarmelo
.Grazie ancora per la pazienza.
"Che tipo di raccoglimento"?
Quello in preghiera...
No, seriamente, metti in evidenza $e^x$.
Quello in preghiera...
No, seriamente, metti in evidenza $e^x$.
"gugo82":
"Che tipo di raccoglimento"?
non del tutto dissimile in questo caso!Alolora, provo: $lim_(x->oo)sqrt(e^x(1-2/e^x))/(sqrt(e^x(1+(4x)/e^x)))=lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x))$
Ora sorge lo steso dubbio del caso:
Ossia:
$lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x))=lim(x_->oo)(sqrt(1-2/e^x))/sqrt(1+(4x)/e^x)$
Insomma, non mi è chiaro come portarli poi a compimento correttamente perché se mando a infinito mando infinito a pezzi l'argomento $sqrt(1-0)/sqrt(1-0)$ macome dicevamo è sbagliato.
Capire questi tre esempi come concluderli in modo formale mi aiuterebbe molto.
@mat.pasc: Prego!
Il fatto è che il principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi è semplice quando hai somme al numeratore e al denominatore, meno semplice quando ci sono di mezzo composizioni; quindi secondo me ti conviene prima capire bene cosa sta succedendo in generale nei limiti (ossia imparare a capire chi raccogliere nei casi più disparati) e poi, con un po' più di esperienza, utilizzare i principi di sostituzione (anche se io personalmente credo sia sempre meglio fare a mano con i raccoglimenti).
Comunque, una volta giunto a $\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)$ sai che il primo tende all'infinito e il secondo tende a $0$ per $x \to \infty$ e perciò, nuovamente, raccogli $\log(2x^2)$ arrivando a $\log(2x^2) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}right)}{\log(2x^2)}\right]$; dunque, usando un altro paio di proprietà dei logaritmi, hai
$$\frac{\log(2x^2) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{\log(x^3) \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}=\frac{(\log 2+2\log x) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3\log x \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}$$
Nuovamente hai una somma $\log 2 + \log x$ in cui potresti chiederti se eliminare la costante $\log 2$; ma, proseguendo sulla zelante via dei raccoglimenti, raccogli $\log x$ giungendo a
$$\frac{2\log x \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3\log x \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}=\frac{2 \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3 \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]} \to \frac{2(1+0)(1+0)}{3(1-0)}=\frac{2}{3}$$
Per $x\to\infty$; come vedi nessuna forma indeterminata, nessuna ambiguità, nessun problema di "posso far sparire roba o non posso?" ecc..
Per la domanda (2) suppongo che l'esercitatore abbia fatto così per motivi di tempo e perché sa quello che sta facendo, ti ha già mostrato gugo82 cosa raccogliere.
(3): Beh lì è diverso perché appunto, come dicevo prima, un conto è sapere cosa si sta facendo e un conto è (giustamente quando uno è agli inizi) si prova a imparare per esperienza anche copiando i ragionamenti; ricordati che questi teoremi di sostituzione hanno delle ipotesi e vanno verificate tutte. Immagino (correggimi se sbaglio) che tu stia appunto andando per esperienza, quindi probabilmente gli errori giacciono nel fatto che non puoi applicare proprio quei teoremi in quei casi (per esempio per il limite del numero di Nepero $e$).
Perché hai lo stesso dubbio? $\sqrt{e^x}$ si cancella per motivi algebrici e poi mandi al limite tutto ciò che dipende da $x$ nella funzione, sia $\frac{2}{e^x}$ che $\frac{4x}{e^x}$. Il problema è quando, deliberatamente, mandi solo alcuni pezzi al limite. Qui stai mandando tutto al limite ed è corretto!
"mat.pasc":
Il punto ora è, se è sbagliato dire che quello tra parentesi nel mio esempio tende a uno mentre h(x) tende a infinito quindi il limite è infinito, come posso fare a concludere?
Io pensavo di aver applicato: $lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))=lim_(x->oo)h(x)*lim_(x->oo)(1+(g(x))/(h(x)))=oo*1=oo$ (poiché siamo nell'hp che h(x) è di ordine superiore a g(x) quindi nel rapportoal limite si annulla) e di far la stessa cosa "spezzare" il limite anche nel logaritmo.
Insomma la domanda è: ma quindi come concludo formalmente e correttamente i due esempi succitati?
Il fatto è che il principio di sostituzione degli infiniti/infinitesimi è semplice quando hai somme al numeratore e al denominatore, meno semplice quando ci sono di mezzo composizioni; quindi secondo me ti conviene prima capire bene cosa sta succedendo in generale nei limiti (ossia imparare a capire chi raccogliere nei casi più disparati) e poi, con un po' più di esperienza, utilizzare i principi di sostituzione (anche se io personalmente credo sia sempre meglio fare a mano con i raccoglimenti).
Comunque, una volta giunto a $\log(2x^2)+\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)$ sai che il primo tende all'infinito e il secondo tende a $0$ per $x \to \infty$ e perciò, nuovamente, raccogli $\log(2x^2)$ arrivando a $\log(2x^2) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}right)}{\log(2x^2)}\right]$; dunque, usando un altro paio di proprietà dei logaritmi, hai
$$\frac{\log(2x^2) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{\log(x^3) \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}=\frac{(\log 2+2\log x) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3\log x \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}$$
Nuovamente hai una somma $\log 2 + \log x$ in cui potresti chiederti se eliminare la costante $\log 2$; ma, proseguendo sulla zelante via dei raccoglimenti, raccogli $\log x$ giungendo a
$$\frac{2\log x \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3\log x \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]}=\frac{2 \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3 \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]} \to \frac{2(1+0)(1+0)}{3(1-0)}=\frac{2}{3}$$
Per $x\to\infty$; come vedi nessuna forma indeterminata, nessuna ambiguità, nessun problema di "posso far sparire roba o non posso?" ecc..
Per la domanda (2) suppongo che l'esercitatore abbia fatto così per motivi di tempo e perché sa quello che sta facendo, ti ha già mostrato gugo82 cosa raccogliere.
(3): Beh lì è diverso perché appunto, come dicevo prima, un conto è sapere cosa si sta facendo e un conto è (giustamente quando uno è agli inizi) si prova a imparare per esperienza anche copiando i ragionamenti; ricordati che questi teoremi di sostituzione hanno delle ipotesi e vanno verificate tutte. Immagino (correggimi se sbaglio) che tu stia appunto andando per esperienza, quindi probabilmente gli errori giacciono nel fatto che non puoi applicare proprio quei teoremi in quei casi (per esempio per il limite del numero di Nepero $e$).
"mat.pasc":
Alolora, provo: $ lim_(x->oo)sqrt(e^x(1-2/e^x))/(sqrt(e^x(1+(4x)/e^x)))=lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x)) $
Ora sorge lo steso dubbio del caso:
Ossia:
$ lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x))=lim(x_->oo)(sqrt(1-2/e^x))/sqrt(1+(4x)/e^x) $
Insomma, non mi è chiaro come portarli poi a compimento correttamente perché se mando a infinito mando infinito a pezzi l'argomento $ sqrt(1-0)/sqrt(1-0) $ macome dicevamo è sbagliato.
Capire questi tre esempi come concluderli in modo formale mi aiuterebbe molto.
Perché hai lo stesso dubbio? $\sqrt{e^x}$ si cancella per motivi algebrici e poi mandi al limite tutto ciò che dipende da $x$ nella funzione, sia $\frac{2}{e^x}$ che $\frac{4x}{e^x}$. Il problema è quando, deliberatamente, mandi solo alcuni pezzi al limite. Qui stai mandando tutto al limite ed è corretto!
@Mephlip
L'ultimo punto dubbio è su due cose simili nei due esempi dato che tutto quello che hai detto ora mi torna e condivido i tuoi ragionamenti appieno.
Il punto cardine è che per concludere devo poter applicare i teoremi delle operazioni coi limiti, come facevo qui
Parto a ritroso:
a) $ lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x))=lim(x_->oo)(sqrt(1-2/e^x))/sqrt(1+(4x)/e^x) $
ovviamente in questo il dubbio non è sulla semplificazione di e^x sotto radice, fattibile. Il dubbio è sul finale, quando scrivo: $ sqrt(1-0)/sqrt(1-0) $.
E' pur vero che mando tutto al limite, però sto mandando al limite qualcosa nell'argomento radice e questo mi turba perché non sto facendo un lavoro con i teoremi su somma e differenza di limiti come faccio nel quote.
b) Riprendo questo passaggio:
$$\frac{2 \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3 \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]} \to \frac{2(1+0)(1+0)}{3(1-0)}=\frac{2}{3}$$
E infatti qui mi sembra proprio di applicare correttamente quei teoremi (tranne in un punto che evidenzio), esplicitamente:
$(lim_(x->oo)2*(lim_(x->oo)1+(lim_(x->oo)log2)/(lim_(x->oo)2logx))*(lim_(x->oo)1+(lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2)))/(lim_(x->oo)log(2x^2))))/(lim_(x->oo)3*(lim_(x->oo)1-(lim_(x->oo)1)/(lim_(x->oo)logx^3))$
E il problema è in $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))$ perché svolgendo il calcolo mando al limite l'argomento ma il limite sarebbe esterno alla funzione logaritmo!
[Edit] forse il punto è che in: $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))$ sto usando il teorma delle regole di calcolo per composizione? E che non generando una forma indeterminata vale?
Ossia: $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))=log(lim_(x->oo)1+lim_(x->oo)(2x))/(lim_(x->oo)(5x^2))$
Ragionamento identico nella radice.
Speriamo sia giusto ora
L'ultimo punto dubbio è su due cose simili nei due esempi dato che tutto quello che hai detto ora mi torna e condivido i tuoi ragionamenti appieno.
Il punto cardine è che per concludere devo poter applicare i teoremi delle operazioni coi limiti, come facevo qui
$ lim_(x->oo)h(x)+g(x)=h(x)(1+(g(x))/(h(x)))= $
$ lim_(x->oo)h(x)*lim_(x->oo)(1+(g(x))/(h(x)))= $
$ lim_(x->oo)h(x)*(lim_(x->oo)1+lim_(x->oo)(g(x))/(h(x)))=oo*(1+0)=oo $
E' corretto qui? e quindi non faccio spezzatini di limite.
Parto a ritroso:
a) $ lim(x_->oo)(sqrt(e^x)sqrt(1-2/e^x))/(sqrt(e^x)sqrt(1+(4x)/e^x))=lim(x_->oo)(sqrt(1-2/e^x))/sqrt(1+(4x)/e^x) $
ovviamente in questo il dubbio non è sulla semplificazione di e^x sotto radice, fattibile. Il dubbio è sul finale, quando scrivo: $ sqrt(1-0)/sqrt(1-0) $.
E' pur vero che mando tutto al limite, però sto mandando al limite qualcosa nell'argomento radice e questo mi turba perché non sto facendo un lavoro con i teoremi su somma e differenza di limiti come faccio nel quote.
b) Riprendo questo passaggio:
$$\frac{2 \left(1+\frac{\log 2}{2\log x}\right) \left[1+\frac{\log \left(1+\frac{2x}{5x^2}\right)}{\log(2x^2)}\right]}{3 \left[1-\frac{1}{\log(x^3)}\right]} \to \frac{2(1+0)(1+0)}{3(1-0)}=\frac{2}{3}$$
E infatti qui mi sembra proprio di applicare correttamente quei teoremi (tranne in un punto che evidenzio), esplicitamente:
$(lim_(x->oo)2*(lim_(x->oo)1+(lim_(x->oo)log2)/(lim_(x->oo)2logx))*(lim_(x->oo)1+(lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2)))/(lim_(x->oo)log(2x^2))))/(lim_(x->oo)3*(lim_(x->oo)1-(lim_(x->oo)1)/(lim_(x->oo)logx^3))$
E il problema è in $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))$ perché svolgendo il calcolo mando al limite l'argomento ma il limite sarebbe esterno alla funzione logaritmo!
[Edit] forse il punto è che in: $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))$ sto usando il teorma delle regole di calcolo per composizione? E che non generando una forma indeterminata vale?
Ossia: $lim_(x->oo)log(1+(2x)/(5x^2))=log(lim_(x->oo)1+lim_(x->oo)(2x))/(lim_(x->oo)(5x^2))$
Ragionamento identico nella radice.
Speriamo sia giusto ora
Stai usando la continuità della radice e del logaritmo, la definizione di continuità con i limiti ti dice che $f$ è continua in $x_0$ se
$$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$$
Dunque puoi "portare il limite dentro le funzioni continue" e calcolarne il valore per sostituzione, come se fosse
$$\lim_{x \to x_0} f(x)=f\left(\lim_{x \to x_0} x \right)=f(x_0)$$
$$\lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0)$$
Dunque puoi "portare il limite dentro le funzioni continue" e calcolarne il valore per sostituzione, come se fosse
$$\lim_{x \to x_0} f(x)=f\left(\lim_{x \to x_0} x \right)=f(x_0)$$
Yep. Grazie mille. Mi pare di non aver altri dubbi 
Sei stato gentilissimo!
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