Dubbio sui limiti

[matematicus95]

Ho la seguente funzione $f:x->1$ e il suo insieme di definizione è $[0;5 [$, ora devo calcolare il limite di f per x che tende a 5, se applico la definizione allora esso risulta essere 1 ma in questo caso il limite destro non esiste quindi come devo comportarmi?

[Sk_Anonymous]

Ciao.

"matematicus95":...devo calcolare il limite di f per x che tende a 5, se applico la definizione allora esso risulta essere 1 ma in questo caso il limite destro non esiste quindi come devo comportarmi?

Vediamo se ho ben compreso... in sostanza, si tratterebbe di verificare, data la funzione

$f:[0,5) rightarrow RR$, con $f(x)=1$

che vale

$lim_{x to 5^-} f(x)=1$

facendo uso della definizione di limite.

In questo caso, essendo il limite di tipo unilaterale sinistro, si tratta di mostrare che, prendendo $epsilon>0$ positivo e piccolo a piacere, che esiste $delta_epsilon>0$ tale che valga l'implicazione

$|x-5|
La verifica di ciò, almeno in questo caso, è automatica.

Spero di aver "centrato" la questione.

Saluti.

[matematicus95]

Sì però il il limite esiste se esistono e sono uguali quello destro e quello sinistro, in questo caso quello destro nn esiste

[Sk_Anonymous]

"matematicus95":Sì però il il limite esiste se esistono e sono uguali quello destro e quello sinistro, in questo caso quello destro nn esiste

Esatto.

Infatti, in un caso come quello descritto, se il dominio $[0,5)$ fosse proprio il campo di esistenza della funzione in questione, si avrebbe la non esistenza del limite bilatero per $x to 5$; in compenso si avrebbe, comunque, almeno l'esistenza del limite sinistro della funzione medesima (cioè, quando $x to 5^-$).

Saluti.

[matematicus95]

Quindi nel mio caso il limite esiste o meno? E poi perché il dominio è diverso dal campo di esistenza?

[matematicus95]

up

[gugo82]

"matematicus95":Sì però il il limite esiste se esistono e sono uguali quello destro e quello sinistro, in questo caso quello destro nn esiste

Ragazzi, dai, non facciamo confusione sulle basi.

Per definizione, se \(x_0\in \mathbb{R}\) è di accumulazione per \(X\subseteq \mathbb{R}\), si dice che la funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) ha:

[*:3bt0o9ev] limite \(l\in \widehat{\mathbb{R}}\) per \(x\to x_0\), e si scrive \(\displaystyle \lim_{x\to x_0} f(x) = l\), se e solo se:
\[
\forall J\text{ intorno di } l,\ \exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in X\cap I\setminus \{ x_0\},\ f(x)\in J\; ;
\]
[/*:m:3bt0o9ev]
[*:3bt0o9ev] limite destro \(l\in \widehat{\mathbb{R}}\) per \(x\to x_0\), e si scrive \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^+} f(x) = l\), se e solo se:
\[
\forall J\text{ intorno di } l,\ \exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in X\cap I\cap ]x_0, +\infty[,\ f(x)\in J\; ;
\]
[/*:m:3bt0o9ev]
[*:3bt0o9ev] limite sinistro \(l\in \widehat{\mathbb{R}}\) per \(x\to x_0\), e si scrive \(\displaystyle \lim_{x\to x_0^-} f(x) = l\), se e solo se:
\[
\forall J\text{ intorno di } l,\ \exists I \text{ intorno di } x_0:\ \forall x\in X\cap I\cap ]-\infty ,x_0[,\ f(x)\in J\; .
\][/*:m:3bt0o9ev][/list:u:3bt0o9ev]

Conseguentemente:


[*:3bt0o9ev] se \(x_0\) è di accumulazione sia a destra sia a sinistra per \(X\) si ha:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = l \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = l = \lim_{x\to x_0^-} f(x)\; ;
\]
[/*:m:3bt0o9ev]
[*:3bt0o9ev] se \(x_0\) è di accumulazione solo a destra per \(X\) si ha:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = l \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to x_0^+} f(x) = l\; ;
\]
[/*:m:3bt0o9ev]
[*:3bt0o9ev] se \(x_0\) è di accumulazione solo a sinistra per \(X\) si ha:
\[
\lim_{x\to x_0} f(x) = l \quad \Leftrightarrow \quad \lim_{x\to x_0^-} f(x) = l\; .
\][/*:m:3bt0o9ev][/list:u:3bt0o9ev]

Nel caso in esame \(x_0 = 5\) è di accumulazione per \(X=[0,5[\) solo a sinistra; dato che \(\displaystyle \lim_{x\to 5^-} f(x) = 1\), per l'ultima delle precedenti concludiamo che anche \(\displaystyle \lim_{x\to 5} f(x) = 1\).

[matematicus95]

Grazie mille, chiarissimo.