Dubbio sui criteri di asintoticita

[simone.b1]

Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe spiegarmi questa cosa per favore?

In aula ci hanno spiegato che se una funzione f(x)è asintotica ad un altra g(x) in un intorno di x0 questo non significa che anche e^f(x) sia asintotica a e^g(x).

Poi però abbiamo fatto un esercizio in cui si aveva lim X--->+inf della funzione e^((x^12+1)/(3x^10)(2x^2+1))
Questo l'abbiamo risolto dicendo che l'esponente di e è asintotico a 1/6 e dunque il limite è e^(1/6).

A me sembra che per risolvere questo limite abbiamo usato proprio il procedimento scritto sopra. Vorrei capire se è così i criteri per cui è lecito fare tale operazione.
Ah! avrei anche un altra domanda, cioè come si può usare l'asintotico in somme e sottrazioni?
Grazie mille =)

[Noisemaker]

"simone.b":Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe spiegarmi questa cosa per favore?

In aula ci hanno spiegato che se una funzione f(x)è asintotica ad un altra g(x) in un intorno di x0 questo non significa che

Cerchiamo di capire sotto che ipotesi si può affermare che

\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}

scriviamo allora

\begin{align}
\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=e^{f(x)-g(x)} \to 1 \Leftrightarrow f(x)-g(x)\to0
\end{align}

a questo punto bisogna capire sotto quali ipotesi è vero che se $f(x)\sim g(x)$ allora $f(x)-g(x)\to0$

Allora Abbiamo che:


\begin{align}
f(x)-g(x)=g(x)\begin{matrix} \underbrace{\left(\frac{ f(x) }{ g(x) }-1\right)}_{\to 0} \end{matrix} \to 0 \Leftrightarrow g(x)\mbox{ è limitata}
\end{align}

poichè $f\sim g, f/(g-1)\to1$ e se $g$ è limitata il prodotto tende a zero. In conclusione: se $f\sim g$ ed inoltre $g$ è limitata allora $f-g\to0;$ in generale però $f\sim g$ non implica $f-g\to0;$ in particolare se $f\sim g$ e $g$ è limitata allora
\begin{align}
e^{f(x)}\sim e^{g(x)}
\end{align}

Ciò mostra il comportamento diverso di esponenziali e logaritmi relativamente alla determinazione della parte principale: se l'argomento del logaritmo è un infinito, la parte principale del logaritmo è il logaritmo della parte principale, cioè detto alla buona, nell'argomento del logaritmo si tiene solo l'infinito puù alto; diversamente, la parte principale di un esponenziale non è l'esponenziale della parte principale.

il classico esempio è questo

\[\lim_{x\to+\infty} e^{\frac{x^2+x+1}{x}}=\lim_{x\to+\infty} e^{ x^2 }\cdot e^{ x }\cdot e^{\frac{1}{x}}\sim\lim_{x\to+\infty} e^{ x^2 } e^{ x }=\lim_{x\to+\infty} e^{ x^2+x }\not\sim e^{x^2 }\]

[simone.b1]

Non ho capito bene una cosa, quando scrivi poichè f∼g, f/(g−1)→1 ... intendevi che f/g tende a 1 e che (f/g)-1 tende a 0?
Inoltre vorrei approfittarne per fare anche un'altra domanda, come si risolve 0=ln(e^x-x)?
grazie