Dubbio sugli integrali doppi
Ciao a tutti, ho appena incominciato a studiare l'integrazione di funzione a 2-3 variabili e mi sono trovato di fronte questo esercizio:
$int int_D e^(x+y)dxdy$ dove $D={(x,y)inRR^2;y>=0,x+y<=1,-x+y<=1}$.
Allora, il dominio $D$ è un triangolo pieno di vertici $(-1,0),(1,0),(0,1)$.
Mi piacerebbe studiare il calcolo dell'integrale nel caso in cui proiettassi $D$ su $x$ e nel caso in cui lo proiettassi su $y$.
Caso 1) //proiezione su $y$
-Si proietta $D$ su $y$ quindi $pr_2(D)=[0,1]$ e fisso un $\bar y in pr_2(D)$.
-Trovo i due punti di intersezione da ${(y=\bar y),(x+y=1):}$ e da ${(y=\bar y),(-x+y=1):}$ ottenendo i punti $(1-\bar y,\bar y)$ e $(\bar y-1,\bar y)$.
-Allora $D(y)=[\bar y-1,1-\bar y]$ e con abuso di notazione scrivo ancora $D(y)=[y-1,1-y]$.
-Calcolo l'integrale: $int_0^1(int_(y-1)^(1-y)e^(x+y)dx)dy=1/2*e+1/(2e)$
Caso 2) // proiezione su x
-Si proietta $D$ su $x$ quindi $pr_1(D)=[-1,1]$.
-Il problema è che non posso fissare una $\bar x in pr_1(D)$ e fare come prima perchè in questo caso una equazione $x=\bar x$ non intersecherebbe mai le due rette che rappresentano il lati del triangolo contemporaneamente!
-Allora ho pensato di dividere $D$ così $A={(x,y)inRR^2;y>=0;-x+y<=1;x<=0}$ e $B={(x,y)inRR^2;y>=0;x+y<=1;x>=0}$, allora si ha che $D=AuuB$ (unione dei due triangoli a destra e sinistra dell'asse $y$.
-Allora per l'additività dell'integrale $int int_D e^(x+y)dxdy=int int_A e^(x+y)dxdy+int int_B e^(x+y)dxdy$.
-Su $A$ $pr_1(A)=[-1,0]$ sia $\bar x in pr_1(A)$ e quindi dall'intersezione ottengo $A(x)=[0,1+\bar x]$.
-Su $B$ $pr_1(B)=[0,1]$ sia $\bar x' in pr_1(B)$ e quindi dall'intersezione ottengo $B(x)=[0,1-\bar x']$.
-$int int_A e^(x+y)dxdy=int_-1^0(int_(0)^(1+x)e^(x+y)dy)dx=(e-1)^2/(2e)$
-$int int_B e^(x+y)dxdy=int_0^1(int_(0)^(1-x)e^(x+y)dy)dx=1$
Si ha $1/2*e+1/(2e)= (e-1)^2/(2e) +1$ Q.E.D
Avrei un paio di domande:
-E' questo il modo di procedere di base o c'è qualche errore di ragionamento?
-Quindi se mi trovassi di fronte a un dominio tipo una circonferenza (senza usare la parametrizzazione) sarei costretto a dividerla in due semircirconferenze, o sbaglio?
Grazie in anticipo
$int int_D e^(x+y)dxdy$ dove $D={(x,y)inRR^2;y>=0,x+y<=1,-x+y<=1}$.
Allora, il dominio $D$ è un triangolo pieno di vertici $(-1,0),(1,0),(0,1)$.
Mi piacerebbe studiare il calcolo dell'integrale nel caso in cui proiettassi $D$ su $x$ e nel caso in cui lo proiettassi su $y$.
Caso 1) //proiezione su $y$
-Si proietta $D$ su $y$ quindi $pr_2(D)=[0,1]$ e fisso un $\bar y in pr_2(D)$.
-Trovo i due punti di intersezione da ${(y=\bar y),(x+y=1):}$ e da ${(y=\bar y),(-x+y=1):}$ ottenendo i punti $(1-\bar y,\bar y)$ e $(\bar y-1,\bar y)$.
-Allora $D(y)=[\bar y-1,1-\bar y]$ e con abuso di notazione scrivo ancora $D(y)=[y-1,1-y]$.
-Calcolo l'integrale: $int_0^1(int_(y-1)^(1-y)e^(x+y)dx)dy=1/2*e+1/(2e)$
Caso 2) // proiezione su x
-Si proietta $D$ su $x$ quindi $pr_1(D)=[-1,1]$.
-Il problema è che non posso fissare una $\bar x in pr_1(D)$ e fare come prima perchè in questo caso una equazione $x=\bar x$ non intersecherebbe mai le due rette che rappresentano il lati del triangolo contemporaneamente!
-Allora ho pensato di dividere $D$ così $A={(x,y)inRR^2;y>=0;-x+y<=1;x<=0}$ e $B={(x,y)inRR^2;y>=0;x+y<=1;x>=0}$, allora si ha che $D=AuuB$ (unione dei due triangoli a destra e sinistra dell'asse $y$.
-Allora per l'additività dell'integrale $int int_D e^(x+y)dxdy=int int_A e^(x+y)dxdy+int int_B e^(x+y)dxdy$.
-Su $A$ $pr_1(A)=[-1,0]$ sia $\bar x in pr_1(A)$ e quindi dall'intersezione ottengo $A(x)=[0,1+\bar x]$.
-Su $B$ $pr_1(B)=[0,1]$ sia $\bar x' in pr_1(B)$ e quindi dall'intersezione ottengo $B(x)=[0,1-\bar x']$.
-$int int_A e^(x+y)dxdy=int_-1^0(int_(0)^(1+x)e^(x+y)dy)dx=(e-1)^2/(2e)$
-$int int_B e^(x+y)dxdy=int_0^1(int_(0)^(1-x)e^(x+y)dy)dx=1$
Si ha $1/2*e+1/(2e)= (e-1)^2/(2e) +1$ Q.E.D
Avrei un paio di domande:
-E' questo il modo di procedere di base o c'è qualche errore di ragionamento?
-Quindi se mi trovassi di fronte a un dominio tipo una circonferenza (senza usare la parametrizzazione) sarei costretto a dividerla in due semircirconferenze, o sbaglio?
Grazie in anticipo
Risposte
Il metodo è corretto e non sbagli per quanto riguarda la circonferenza (per l'appunto, si parametrizza però).
Comunque, è sempre meglio prendere la proiezione che ti semplificherà di più la vita e quindi quella più furba
Comunque, è sempre meglio prendere la proiezione che ti semplificherà di più la vita e quindi quella più furba
Ok perfetto ti ringrazio tanto!
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