Dubbio successione...

[Chicco_Stat_1]

salve a tutti!
devo dimostrare che la successione

$S_n = 1+1/sqrt{2}+1/sqrt{3}+...+1/sqrt{n}$

non è di Cauchy...io ho ragionato dicendo che in quanto somma parziale di una serie divergente non può essere di Cauchy..
però mi viene il sospetto di doverlo dimostrare sfruttando la definizione di successione di Cauchy, ovvero

$AA epsilon>0 EE n_0 : AAn>=n_0,p>0$
$|S_(n+p)-S_n|
oppure con la sua negazione

$EE epsilon>0 : AAn_0 EE n,p, n>=n_0,p>0 :$
$|S_(n+p)-S_n|>=epsilon$

in questo caso non sono sicuro di aver fatto giusto.. ho considerato

$|1/sqrt{n+1}+1/sqrt{n+2}+...+1/sqrt{n+p}|>=n/sqrt{n+p}$

e siccome deve valere per ogni $n_0$ se considero un n che cresce indefinitamente il termine $n/sqrt{n+p}$ diverge e a maggior ragione la somma in modulo..
che dite? help!

[fu^2]

si, ma quello che hai fatto con la tua dimostrazione è sostanzialmente mostrare che la serie diverge.

con la definizione (se non dico cavolate) che $|S_m-S_n|n$ per ipotesi.

ma questo non può essere verificato in quanto, fissato un $S_n$ qualsiasi, allora una successione delle serie parziali $S_m$ dovrebbe rimanere in un intorno di $S_n$.

ma essendo la successione $S_k:=sum_(n=1)^k$ monotona crescente, questo non è possibile.

quindi la successione non può risettare la condizione di cauchy.

che non è troppo diverso da quello che tu affermi.

[Chicco_Stat_1]

grazie mille!