Dubbio su Z-trasformata

[paolotesla91]

Ciao a tutti. Ho un problema ai valori iniziali cosi definito:

$\{(y(n+2)+y(n+1)+y(n)=3cos^4(n\pi/2)),(y(0)=2),(y(1)=-3):}$.

Ho un problema con la trasformata della quantità al primo membro.
Io l'ho svolta così: ho posto $\mathcal{Z_u}[y(n)]=Y$, allora

$\mathcal{Z_u}[y(n+2)]=z^2Y-y(0)z^2-y(1)z=z^2Y-2z^2+3z$ (vi prego di correggermi se ho sbagliato);

$\mathcal{Z_u}[y(n+1)]=zY-2z+3$

Allora $\mathcal{Z_u}[y(n+2)+y(n+1)+y(n)]=z^2Y-2z^2+3z+zY-2z+3+Y=Y(z^2+z+1)-2z^2+z+3$.

E' corretto oppure ho sbagliato qualcosa?

[paolotesla91]

nessuno sa aiutarmi ?

[avmarshall]

"paolotesla91":
$\{(y(n+2)+y(n+1)+y(n)=3cos^4(n\pi/2)),(y(0)=2),(y(1)=-3):}$.

Ho un problema con la trasformata della quantità al primo membro.
Io l'ho svolta così: ho posto $\mathcal{Z_u}[y(n)]=Y$, allora

$\mathcal{Z_u}[y(n+2)]=z^2Y-y(0)z^2-y(1)z=z^2Y-2z^2+3z$ (vi prego di correggermi se ho sbagliato);

$\mathcal{Z_u}[y(n+1)]=zY-2z+3$

Allora $\mathcal{Z_u}[y(n+2)+y(n+1)+y(n)]=z^2Y-2z^2+3z+zY-2z+3+Y=Y(z^2+z+1)-2z^2+z+3$.

E' corretto oppure ho sbagliato qualcosa?

Secondo me hai sbagliato perchè dovresti applicare le formule del ritardo.

[paolotesla91]

Sarebbero? o.O

EDIT: a forse ho cpaito cosa intendi. Intendi questa formula: $\mathcal{Z}[a(n+k)]=z^k\mathcal{Z}[a(n)]$ ????

Se cosi fosse allora io come faccio a distinguere quale formula applicare? Gli esempi del mio libro m dicono di applicare questa formula $\mathcal{Z}[a(n+k)]=z^k\mathcal{Z}[a(n)]-a(0)z^k-a(1)z^(k-1)....$. A rigor di logica dovrei trovarmi uguale con entrambe le formule no? o.O

[avmarshall]

Esempio banale:
Come la calcoli la trasformata di $ H(t-1) $ dove $ H(t) $ è la funzione di Heaviside?

[paolotesla91]

Io in genere faccio cosi:

pongo: $\mathcal{Z}[H(t)]=Y$ ed applico la formula che ho scritto prima quindi ho $Y=Y/z$.

Giusto?

[gugo82]

"paolotesla91":a forse ho cpaito cosa intendi. Intendi questa formula: $\mathcal{Z}[a(n+k)]=z^k\mathcal{Z}[a(n)]$ ????

Se cosi fosse allora io come faccio a distinguere quale formula applicare? Gli esempi del mio libro m dicono di applicare questa formula $\mathcal{Z}[a(n+k)]=z^k\mathcal{Z}[a(n)]-a(0)z^k-a(1)z^(k-1)....$. A rigor di logica dovrei trovarmi uguale con entrambe le formule no? o.O

Ha ragione il tuo testo.
La successione definita dalle ricorrenze è da considerarsi unilatera.

Ah, però, occhio che è:
\[
\mathcal{Z}[y(n+k)](z)= z^kY(z)-y(0)\ z^k-y(1)\ z^{k-1}-\cdots -y(k-1)\ z\; ,
\]

Infatti per definizione:
\[
\begin{split}
\mathcal{Z}[y(n+k)](z) &:= \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n+k)}{z^n}\\
&= z^k\ \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n+k)}{z^{n+k}}\\
&= z^k\ \sum_{n=k}^\infty \frac{y(n)}{z^n}\\
&= z^k\ \left( \sum_{n=0}^\infty \frac{y(n)}{z^n} - y(0) -\frac{y(1)}{z}-\cdots -\frac{y(k-1)}{z^{k-1}}\right)\\
&= z^k\ Y(z) - y(0)\ z^k -y(1)\ z^{k-1} -\cdots -y(k-1)\ z\; .
\end{split}
\]

quindi \(\mathcal{Z}[y(n+1)](z)=z\ Y(z)-y(0)\ z=z\ Y(z) -2\ z\) ed \(y(1)=-3\) non vi compare!

[paolotesla91]

Ok gugo grazie, cominciavo a dubitare anche del mio testo xD! Ho capito di quale formula si sta parlando ma non ho capito perchè $y(1)$ non compare. Io applicando la formula ho:

$\mathcal{Z}[y(n+1)]=zY-y(0)z-y(1)z^(1-1)=zY-y(0)z-y(1)$.

Dove sbaglio?

[avmarshall]

Comunque io ti avevo chiesto se sapevi calcolare la trasformata di heaviside in t-1 e non in t. La sai calcolare?

PS: sono trasformate di laplace giusto?

[paolotesla91]

no sono z-trasformate xD! Si marshall ho applicato la formula della proprietà di traslazione. Sono un pò confuso

[gugo82]

"paolotesla91":Ok gugo grazie, cominciavo a dubitare anche del mio testo xD! Ho capito di quale formula si sta parlando ma non ho capito perchè $y(1)$ non compare. Io applicando la formula ho:

$\mathcal{Z}[y(n+1)]=zY-y(0)z-y(1)z^(1-1)=zY-y(0)z-y(1)$.

Dove sbaglio?

Semplicemente, sbagli ad usare la formula \(\mathcal{Z}[y(n+k)](z)= z^k\ Y(z)-y(0)\ z^k-y(1)\ z^{k-1}-\cdots -y(k-1)\ z\) con \(k=1\), perché credi che quel termine in \(z^{k-1}\) debba figurare per forza...

Scrivendo la formula come segue:
\[
\mathcal{Z}[y(n+k)](z)= z^k\ Y(z)- \sum_{j=0}^{k-1} y(j)\ z^{k-j}
\]
quest'ambiguità per \(k=1\) sparisce, no?

[paolotesla91]

Ah! Si certo ora va meglio! Grazie mille

[gugo82]

Ho modificato il post precedente, ora dovrebbe essere abastanza chiaro.

[paolotesla91]

Si si grazie ancora

P.S. Questo conferma ciò che c'è scritto nella tua firma eheheh XD

[paolotesla91]

Ciao a tutti ho questa funzione da antitrasformare: $(z-1)/(z^3-1)$.

Io ho pensato di usare la formula per la trasformazione di una successione periodica. Il problema è che per usarla devo verificare che veramente questa funzione è la trasformazione di una successione periodica, ma come faccio a verificarlo?
Oppure devo usare un altra trasformazione?