Dubbio su valore assoluto, logaritmo e monotonia??

[thedoctor15]

Salve a tutti! Ho un dubbio: se in una funzione ho il logaritmo il cui argomento è in valore assoluto, come devo comportarmi ai fini dello studio? Partendo dal dominio, dovrei porre l'argomento maggiore di zero, ma considerando che l'argomento è un polinomio in valore assoluto, risulterebbe che un valore assoluto è sempre positivo no? Ora si toglie il valore assoluto? O devo spezzarla la funzioe quando studio la monotonia? Ripeto, il valore assoluto riguarda solo l'argomento del logaritmo

[porzio1]

se la funzione è del tipo $y=log_a|P(x)|$ , con $P(x)$ polinomio ,la funzione esiste dovunque tranne nelle soluzioni dell'equazione $P(x)=0$

[ciampax]

In generale se $f(x)=\log_a|g(x)|$ il dominio è dato da
$$D_f=D_g\cap\{x\ :\ g(x)\ne 0\}$$
In pratica, oltre a considerare il dominio della funzione $g$ (che potrebbe presentare problemi) devi anche imporre la condizione $g(x)\ne 0$. Questo perché, naturalmente, sei portato a studiare $|g(x)|>0$. Tuttavia, dal momento che per definizione $|a|\ge 0$ e $|a|=0\ \Leftrightarrow\ a=0$, al fine di risolvere la disequazione in valore assoluto basta considerare quando il suo argomento risulta non nullo.

[thedoctor15]

E quindi quando vado a studiare la monotonia non devo spezzarla la funzione??

[ciampax]

Bé, un rapido calcolo mostra che:
$$f'(x)=\frac{1}{|g(x)|}\cdot \frac{|g(x)|}{g(x)}\cdot g'(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$
per cui non è necessario. Ma non capisco cosa centri il dominio con la monotonia.

[thedoctor15]

Vabbe il dominio è sempre il primo passo no? XD

[ciampax]

Su quello sono pienamente d'accordo con te. Ma da come ne parlavi in precedenza, sembrava volessi collegarlo in qualche modo allo studio della derivata e non capivo come.

[thedoctor15]

Allora cerco di essere molto rapido
La prof dà esercizi in cui c'è una funzione e bisogna calcolare dominio e monotonia, quindi derivata e porla a maggiore di zero. Ora io so che quando ho un valore assoluto, devo sempre "spezzare" la funzione e considerare quanho è positivo e quando è negativo. A me il dubbio sorge con la funzione logaritmo ma anche con la radice, che prevedono che il loro argomento sia positivo. Ad esempio mi riferisco a funzioni dove al numeratore c'è una radice o un logaritmo il cui argomento è tutto in valore assoluto. Per il dominio ci sto: nel caso del logaritmo argomento diverso da zero e nel caso della radice tutto R. Ma quando poi studio la monotonia? Cioè non posso calcolare derivate con valoro assoluti, devo toglierli e per farlo di solito si spezza la funzione. Ma in questi casi? È necessario visto che parlo comunque di funzioni il cui argomento deve per forza essere positivo???

[Camillo]

Faccio un esempio ; sia $y =log |x^2+2x-3|$.
Il dominio è tutto $RR$ eccetto i punti in cui l'argomento del log si annulla e quindi i punti $-3 ; 1 $ .
Dominio : $ (-oo,-3)U (-3,1 )U (1,+oo )$ .
Sciolgo il valore assoluto e ottengo :
$y_1 = log(x^2+2x-3) $ per $ x>1 ; x< -3 $
$y_2 = log( -x^2-2x+3) $ per $ -3 < x < 1 $.

Calcolo la derivata :
$y'_1 = (2x+2)/(x^2+2x-3) > 0 $ per $x > -1 $ ma considerando dove è definita $y_1 $ vuol dire che $y_1 $ è crescente per $x>1 $ ed è decrescente per $x <-3 $.

$y'_2= (-2x-2)/(-x^2-2x+3) >0 $ per $x < -1 $ e considerando dove $y_2 $ è definita si ha che $y_2 $ è crescente per $ -3

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