Dubbio su uno studio di funzione
Salve ancora ragazzi, inizio subito a postare un problemino che ho incontrato questo pomeriggio.
In pratica ho la funzione:
y = $3*x^3*(log |x| - 1/3)$
Il mio professore mi ripete sempre che la prima cosa da fare nello studio di funzione è eliminare gli eventuali Valori assoluti e poi controllare le eventuali simmetrie.
Ad esempio questa funzione risulterebbe dispari però se ciò che devo fare prima è togliere il valore assoluto otterei che:
$y={(3*x^3*(log x - 1/3),if x>0),(3*x^3*(log (-x) - 1/3),if x<0):}$
Ed è a questo punto che non mi torna una cosa, la seconda disequazione che ho definito è valida?
Il dubbio deriva dal fatto che il logaritmo è definito ponendo l'argomento >0. Quindi x deve sempre essere >0.
Però in teoria anche nella seconda disequazione l' argomento sarebbe >0 perchè x<0.
In cosa mi sto sbagliando? Vi ringrazio anticipatamente per l' aiuto.
In pratica ho la funzione:
y = $3*x^3*(log |x| - 1/3)$
Il mio professore mi ripete sempre che la prima cosa da fare nello studio di funzione è eliminare gli eventuali Valori assoluti e poi controllare le eventuali simmetrie.
Ad esempio questa funzione risulterebbe dispari però se ciò che devo fare prima è togliere il valore assoluto otterei che:
$y={(3*x^3*(log x - 1/3),if x>0),(3*x^3*(log (-x) - 1/3),if x<0):}$
Ed è a questo punto che non mi torna una cosa, la seconda disequazione che ho definito è valida?
Il dubbio deriva dal fatto che il logaritmo è definito ponendo l'argomento >0. Quindi x deve sempre essere >0.
Però in teoria anche nella seconda disequazione l' argomento sarebbe >0 perchè x<0.
In cosa mi sto sbagliando? Vi ringrazio anticipatamente per l' aiuto.
Risposte
La prima cosa da fare nello studio di funzione è trovare l'insieme di definizione!
"Mattew57":
$y={(3*x^3*(log x - 1/3),if x>0),(3*x^3*(log (-x) - 1/3),if x<0):}$
Ed è a questo punto che non mi torna una cosa, la seconda disequazione che ho definito è valida?
Certo che è valida.
Infatti l'argomento del logaritmo come hai detto tu deve essere maggiore di 0.
Quindi $-x>0$
Ma $x$ è negativo e quindi $-x$ è positivo e quindi tutto va bene
ok grazie mille, un' ultimo dubbio quando vado a calcolare cosa accade verso lo 0 mi trovo due limiti (uno da 0- e l' altro da 0+), uno è del tipo -INF/-INF, quindi posso applicare de l' hopital senza problemi. l'altro limite invece sarebbe nella forma -INF/INF. Posso applicare anche questa volta de l' hopital? perchè in teoria le due funzioni dovrebbero convergere entrambe a -inf o a + inf.
Sì, puoi... In fondo, se ci pensi, scrivere $lim_(x -> x_0) (f(x))/(g(x)) = (-oo)/(+oo)$ (abusando un po' del simbolo "infinito") è la stessa cosa che scrivere:
$lim_(x -> x_0) - (- f(x))/(g(x)) = - lim_(x -> x_0) (- f(x))/(g(x)) = - [ (+oo)/(+oo) ]$
$lim_(x -> x_0) - (- f(x))/(g(x)) = - lim_(x -> x_0) (- f(x))/(g(x)) = - [ (+oo)/(+oo) ]$
Grazie milleeeeeeee!
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