Dubbio su un'implicazione di esistenza di un limite
Le premesse sono queste: $f$ è una funzione di classe $C^1$ assolutamente integrabile su $\mathbb{R}$ con derivata prima $f'$ anch'essa assolutamente integrabile su $\mathbb{R}$.
Voglio dimostrare che, sotto tali condizioni, risulta
$$\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=0$$
Dall'ipotesi sull'assoluta integrabilità di $f'$ segue, dal criterio di integrabilità, che
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon$$
Perciò per ogni $\varepsilon>0$ esiste $x_{\varepsilon}$ tale che, per $x_{\varepsilon}
È allora, per gli stessi $x^{'}$ e $x^{''}$
$$\left|f(x^{'})-f(x^{''})\right|=\left|\int_{x^{'}}^{x^{''}}f'(x)dx\right|\leq\int_{x^{'}}^{x^{''}}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon$$
Ossia esiste finito il limite
$$\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=l$$
Infine $l$ è zero perché altrimenti verrebbe infranta la condizione necessaria di convergenza per integrali impropri sulla $f$, in quanto essa per ipotesi è assolutamente integrabile.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) Perché aver dimostrato che $|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon$ implica che il limite sia $l$? Capisco che è in sostanza la definizione di limite, ma per dire che è $l$ non dovrebbe essere $|f(x^{'})-l|<\varepsilon$?
E perché, se così fosse, $|f(x^{'})-l|<\varepsilon$ e non $|f(x^{''})-l|<\varepsilon$?
L'unica motivazione sensata che mi sono dato è che $x^{'}$ e $x^{''}$ sono due punti arbitrari, quindi se la distanza tra le immagini valutate in due punti arbitrari è più piccola di $\varepsilon$ sto praticamente dicendo che il limite esiste finito.
Ha senso oppure è totalmente un altro motivo?
2) Perché viene specificato "È allora, per gli stessi $x^{'}$ e $x^{''}$"?
Mi risulta un po' criptica come frase, a cosa vuole condurre? Forse è proprio la necessità che tutto ciò valga per due punti arbitrari che spinge il testo a specificarmi che la stima che segue deve essere fatta per quei due punti arbitrari detti prima?
Grazie per il vostro tempo.
Voglio dimostrare che, sotto tali condizioni, risulta
$$\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=0$$
Dall'ipotesi sull'assoluta integrabilità di $f'$ segue, dal criterio di integrabilità, che
$$\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon$$
Perciò per ogni $\varepsilon>0$ esiste $x_{\varepsilon}$ tale che, per $x_{\varepsilon}
È allora, per gli stessi $x^{'}$ e $x^{''}$
$$\left|f(x^{'})-f(x^{''})\right|=\left|\int_{x^{'}}^{x^{''}}f'(x)dx\right|\leq\int_{x^{'}}^{x^{''}}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon$$
Ossia esiste finito il limite
$$\lim_{x\to+\infty}{f(x)}=l$$
Infine $l$ è zero perché altrimenti verrebbe infranta la condizione necessaria di convergenza per integrali impropri sulla $f$, in quanto essa per ipotesi è assolutamente integrabile.
I miei dubbi sono i seguenti:
1) Perché aver dimostrato che $|f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon$ implica che il limite sia $l$? Capisco che è in sostanza la definizione di limite, ma per dire che è $l$ non dovrebbe essere $|f(x^{'})-l|<\varepsilon$?
E perché, se così fosse, $|f(x^{'})-l|<\varepsilon$ e non $|f(x^{''})-l|<\varepsilon$?
L'unica motivazione sensata che mi sono dato è che $x^{'}$ e $x^{''}$ sono due punti arbitrari, quindi se la distanza tra le immagini valutate in due punti arbitrari è più piccola di $\varepsilon$ sto praticamente dicendo che il limite esiste finito.
Ha senso oppure è totalmente un altro motivo?
2) Perché viene specificato "È allora, per gli stessi $x^{'}$ e $x^{''}$"?
Mi risulta un po' criptica come frase, a cosa vuole condurre? Forse è proprio la necessità che tutto ciò valga per due punti arbitrari che spinge il testo a specificarmi che la stima che segue deve essere fatta per quei due punti arbitrari detti prima?
Grazie per il vostro tempo.
Risposte
Puoi provare a dare un occhio qua.
Ma intendi per ogni \( \epsilon > 0 \)? Perché? Prendi \( f(x) = e^{-x^2} \). La sua derivata è \( f'(x)= -2xe^{-x^2} \) ma vale:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| dx = \sqrt{\pi} \quad \quad \quad \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(x)| dx = 2 \]
Alla luce di ciò le altre domande non mi sembrano avere senso.
"Mephlip":
Dall'ipotesi sull'assoluta integrabilità di $ f' $ segue, dal criterio di integrabilità, che
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon \]
Ma intendi per ogni \( \epsilon > 0 \)? Perché? Prendi \( f(x) = e^{-x^2} \). La sua derivata è \( f'(x)= -2xe^{-x^2} \) ma vale:
\[ \int_{-\infty}^{+\infty} |f(x)| dx = \sqrt{\pi} \quad \quad \quad \int_{-\infty}^{+\infty} |f'(x)| dx = 2 \]
Alla luce di ciò le altre domande non mi sembrano avere senso.
"Mephlip":
Dall'ipotesi sull'assoluta integrabilità di $ f' $ segue, dal criterio di integrabilità, che
\[ \int_{-\infty}^{+\infty}\left|f'(x)\right|dx<\varepsilon \]
Perdonami, ho scritto $\varepsilon$ in luogo di $+\infty$; decisamente un errore grossolano!
Ora dovrebbe andare bene, infatti il tuo esempio mostrava come quella scrittura fosse inconsistente; perciò quella considerazione non segue dal criterio di integrabilità ma bensì dall'ipotesi di assoluta integrabilità di $f'$.
Mi interessava chiarire questo tipo di formalismo usato nella dimostrazione che ho scritto, potremmo continuare su questo binario?
Ho letto l'altra risposta (grazie per avermela linkata!), però non so se il forum consente di andare "off topic" qui e chieder delucidazioni su quella oppure scrivere lì.
Grazie per la disponibilità.
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists M_{\epsilon} \in \mathbb{N} : m,n > M_{\epsilon} \Rightarrow |(f(a_n)-f(a_m)| < \epsilon \]
Ora è chiaro!
Ok! Dunque:
Sia \( \{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) tale che \( a_n \to + \infty \). Voglio dimostrare che la successione \( \{ f(a_n) \}_{n \in \mathbb{N}} \) è di Cauchy. Tu sai che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow |(f(x')-f(x'')| < \epsilon \]
Sia \( \epsilon > 0 \) fissato e di conseguenza sia fissato \(x_{\epsilon} \). Poiché \( a_n \to + \infty \), se \(m,n \in \mathbb{N} \) sono sufficientemente grandi, diciamo più di un certo \( M_{\epsilon} \), allora avremo che \(a_n , a_m > x_{\epsilon} \).
Ma allora
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists M_{\epsilon} \in \mathbb{N} : m,n > M_{\epsilon} \Rightarrow |(f(a_n)-f(a_m)| < \epsilon \]
ovvero hai che \( |f(a_n)-f(a_m) | \to 0 \) quando \(m, n \to +\infty\). Dunque la successione è di Cauchy e poiché \( \mathbb{R} \) è completo ammette limite \( l \in \mathbb{R} \). Per l'equivalenza tra limite di successione e limite negli spazi metrici si ha quindi che \( \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \).
Perché un certo ragionamento ti fa concludere che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow \int_{x'}^{x''}|f(x)|dx < \epsilon \]
da cui ricavi che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow |(f(x')-f(x'')| < \epsilon \]
E come vedi in queste due affermazioni \(x' \) e \(x'' \) sono gli stessi.
Sinceramente penso che tu possa scrivere qua e nessuno ti picchierà, nel caso dovesse accadere me ne assumo la responsabilità e spero che non picchino allora me troppo forte
"Mephlip":
Perdonami, ho scritto $\varepsilon$ in luogo di $+\infty$; decisamente un errore grossolano!
Ora è chiaro!
"Mephlip":
Mi interessava chiarire questo tipo di formalismo usato nella dimostrazione che ho scritto, potremmo continuare su questo binario?
Ok! Dunque:
"Mephlip":
1) Perché aver dimostrato che $ |f(x^{'})-f(x^{''})|<\varepsilon $ implica che il limite sia $ l $?
Sia \( \{a_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) tale che \( a_n \to + \infty \). Voglio dimostrare che la successione \( \{ f(a_n) \}_{n \in \mathbb{N}} \) è di Cauchy. Tu sai che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow |(f(x')-f(x'')| < \epsilon \]
Sia \( \epsilon > 0 \) fissato e di conseguenza sia fissato \(x_{\epsilon} \). Poiché \( a_n \to + \infty \), se \(m,n \in \mathbb{N} \) sono sufficientemente grandi, diciamo più di un certo \( M_{\epsilon} \), allora avremo che \(a_n , a_m > x_{\epsilon} \).
Ma allora
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists M_{\epsilon} \in \mathbb{N} : m,n > M_{\epsilon} \Rightarrow |(f(a_n)-f(a_m)| < \epsilon \]
ovvero hai che \( |f(a_n)-f(a_m) | \to 0 \) quando \(m, n \to +\infty\). Dunque la successione è di Cauchy e poiché \( \mathbb{R} \) è completo ammette limite \( l \in \mathbb{R} \). Per l'equivalenza tra limite di successione e limite negli spazi metrici si ha quindi che \( \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \).
"Mephlip":
2) Perché viene specificato "È allora, per gli stessi $ x^{'} $ e $ x^{''} $"?
Perché un certo ragionamento ti fa concludere che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow \int_{x'}^{x''}|f(x)|dx < \epsilon \]
da cui ricavi che
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists x_{\epsilon} \in \mathbb{R} : x', x'' > x_{\epsilon} \Rightarrow |(f(x')-f(x'')| < \epsilon \]
E come vedi in queste due affermazioni \(x' \) e \(x'' \) sono gli stessi.
"Mephlip":
Ho letto l'altra risposta (grazie per avermela linkata!), però non so se il forum consente di andare "off topic" qui e chieder delucidazioni su quella oppure scrivere lì.
Grazie per la disponibilità.
Sinceramente penso che tu possa scrivere qua e nessuno ti picchierà, nel caso dovesse accadere me ne assumo la responsabilità e spero che non picchino allora me troppo forte
Grazie, è quasi tutto chiaro ora! Ti chiedo dei dettagli per vedere se ho fissato bene le cose o c'è ancora qualche buco, sono all'inizio della laurea triennale in fisica e purtroppo i nostri corsi di analisi non approfondiscono molto questi aspetti: per me che voglio fare il fisico matematico credo sia fondamentale fissarli!
Perciò magari alcune cose sembreranno ridondanti o banali ma credo che sia opportuno fissarle al 100%
Qui stiamo dicendo che, essendo $\varepsilon>0$ fissato, la quantità $x_{\varepsilon}$ è fissata anch'essa perché dipende solo da $\varepsilon$ e quindi fissandolo non varia più?
Se ciò che ho detto prima è corretto, allora quando $m,n$ diventano arbitrariamente grandi (ossia quando $m,n\to\+\infty$) lo superano proprio perché è fissato: denotiamo $M_{\varepsilon}$ l'indice naturale soglia che specifica quando avviene questo sorpasso. Ho ricevuto bene fino a qui quello che volevi dire?
Il seguente è il punto cruciale che non sono sicuro di aver capito appieno:
Non sono sicuro che voglia dire ciò che segue: dato che $a_{n}\to\+\infty$, risulta che $a_{n}$ e $a_{m}$ sorpassano $x_{\varepsilon}$ da $M_{\varepsilon}$ in poi; allora vale quanto abbiamo detto prima su $x^{\prime}$ e $x^{\prime \prime}$ per $a_{n}$ e $a_{m}$ proprio perché esse superano $x_{\varepsilon}$ da $M_{\varepsilon}$ in poi, pertanto usiamo il risultato ottenuto prima con $x^{\prime}=a_{n}$ e $x^{\prime \prime}=a_{m}$?
Quest'ultima non è altro che l'applicazione del teorema ponte (o criterio funzioni-successioni, l'ho trovato anche sotto questo nome)?
Se sì, allora la scelta iniziale di $\{a_{n}}\to\+infty$ è stata fatta proprio perché poi, grazie a questo teorema/criterio, possiamo quindi affermare che tendendo la successione a $+\infty$ ci tende anche la variabile indipendente $x$ della funzione e questo tramuta il limite di successione nel limite per $x\to\+\infty$ di $f$?
Grazie per il tempo concesso
Perciò magari alcune cose sembreranno ridondanti o banali ma credo che sia opportuno fissarle al 100%
Sia \( \epsilon > 0 \) fissato e di conseguenza sia fissato \(x_{\epsilon} \). Poiché \( a_n \to + \infty \), se \(m,n \in \mathbb{N} \) sono sufficientemente grandi, diciamo più di un certo \( M_{\epsilon} \), allora avremo che \(a_n , a_m > x_{\epsilon} \).
Qui stiamo dicendo che, essendo $\varepsilon>0$ fissato, la quantità $x_{\varepsilon}$ è fissata anch'essa perché dipende solo da $\varepsilon$ e quindi fissandolo non varia più?
Se ciò che ho detto prima è corretto, allora quando $m,n$ diventano arbitrariamente grandi (ossia quando $m,n\to\+\infty$) lo superano proprio perché è fissato: denotiamo $M_{\varepsilon}$ l'indice naturale soglia che specifica quando avviene questo sorpasso. Ho ricevuto bene fino a qui quello che volevi dire?
Il seguente è il punto cruciale che non sono sicuro di aver capito appieno:
Ma allora
\[ \forall \epsilon > 0 \quad \exists M_{\epsilon} \in \mathbb{N} : m,n > M_{\epsilon} \Rightarrow |(f(a_n)-f(a_m)| < \epsilon \]
Non sono sicuro che voglia dire ciò che segue: dato che $a_{n}\to\+\infty$, risulta che $a_{n}$ e $a_{m}$ sorpassano $x_{\varepsilon}$ da $M_{\varepsilon}$ in poi; allora vale quanto abbiamo detto prima su $x^{\prime}$ e $x^{\prime \prime}$ per $a_{n}$ e $a_{m}$ proprio perché esse superano $x_{\varepsilon}$ da $M_{\varepsilon}$ in poi, pertanto usiamo il risultato ottenuto prima con $x^{\prime}=a_{n}$ e $x^{\prime \prime}=a_{m}$?
Per l'equivalenza tra limite di successione e limite negli spazi metrici si ha quindi che \( \lim_{x \to + \infty} f(x) = l \).
Quest'ultima non è altro che l'applicazione del teorema ponte (o criterio funzioni-successioni, l'ho trovato anche sotto questo nome
)?Se sì, allora la scelta iniziale di $\{a_{n}}\to\+infty$ è stata fatta proprio perché poi, grazie a questo teorema/criterio, possiamo quindi affermare che tendendo la successione a $+\infty$ ci tende anche la variabile indipendente $x$ della funzione e questo tramuta il limite di successione nel limite per $x\to\+\infty$ di $f$?
Grazie per il tempo concesso
Hai capito tutto perfettamente!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo