Dubbio su una successione

[Sk_Anonymous]

Sia $X={a_n=sin(n \pi + 1/n) \in \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}-{0}}$, allora $min X=-sin(1)$.

Sappiamo che il seno è dispari, pertanto $-sin(1)=sin(-1)$, pertanto esiste un $n$ appartenente all'insieme (per definizione di minimo) tale che $a_n = sin(-1)$ ovvero $n \pi + 1/n = -1$

Come è possibile? Si vede subito che sommando due numeri positivi non posso ottenere una quantità negativa. Come è il fatto?

[salvozungri]

Prova a utilizzare le formule di addizione, di modo che si possano scrivere in modo diverso e più vantaggioso i termini della successione.

[Sk_Anonymous]

$sin(n \pi + 1/n) = sin(n \pi)cos(1/n) + sin(1/n)cos(n \pi) = (-1)^(n) sin(1/n)$

Capito .... ti ringrazio per 'aiuto, strano però che non riesco a ricondurmici anche con il mio ragionamento ... non mi sembra sbagliato

[salvozungri]

Hai dimenticato che la funzione seno è periodica

[tex]\sin(-1) = \sin\left(n \pi +\frac{1}{n}\right)\iff -1+2 k\pi = n \pi +\frac{1}{n}[/tex]. Devi fare in modo di determinare un [tex]n[/tex] naturale che realizzi l'uguaglianza. E' un lavoro alquanto inutile e pesante, tra l'altro devi porre delle condizioni su [tex]k[/tex], insomma diventa una cosa pallosissima (equazione di secondo grado in [tex]n[/tex], condizione d'esistenza del radicando nella formula risolutiva... conti, troppi conti).

Tra le varie relazioni del seno ce n'è una che aiuta particolarmente in questo caso.

[tex]-\sin(x) =\sin(x+\pi)\quad \forall x\in \mathbb{R}[/tex].

[Sk_Anonymous]

Ti ringrazio, avevo dimenticato quell'addendo dovuto alla periodicità, ecco perchè non mi tornava, e non "visto" che con quella relazione diventa banale capire che il limite inferiore $-sin(1)$. Non mi parlare di conti, è da due settimane che sviluppo in serie di Taylor pure la pasta prima di cucinarla e risolvo integrali con tutti i metodi possibili nello stesso integrale (cosa che è successa nell'appello passato, dove c'era un integrale la cui soluzione occupava 2 pagine e mezzo e ovviamente si prendeva mezz'ora di tempo, cosa non banale su un'ora in totale per l'intero compito)

Grazie ancora

[salvozungri]

Una precisazione: in realtà la relazione che ti ho scritto nel mio secondo passaggio ([tex]-\sin(x)=\sin(x+\pi)[/tex]) non risparmia conti . Il metodo più sbrigativo è quello di utilizzare la formula dell'addizione del seno e ricondursi ad una successione più trattabile.


E' stato un piacere aiutarti