Dubbio su una funzione
Ciao a tutti,
mi rivolgo a voi con una richiesta di aiuto riguardante un dubbio su una funzione.
Il mio dubbio si concentra sulla funzione $ f(x)= x-arctan (|x-3|) $.
Sto cercando di capire come individuare il segno di questa funzione e le sue intersezioni con l'asse delle ordinate.
Se qualcuno è disposto a condividere le proprie conoscenze o suggerire risorse utili per comprendere meglio il comportamento di questa maledetta funzione, ne sarei molto grato. Forse c'è qualcosa di specifico che mi sfugge e sono convinto che la vostra esperienza possa fare la differenza.
Grazie anticipatamente a chi vorrà prendersi il tempo di rispondere e condividere la propria conoscenza. Il vostro contributo sarà di grande valore e sono qui per imparare e apprezzare qualsiasi aiuto!
mi rivolgo a voi con una richiesta di aiuto riguardante un dubbio su una funzione.
Il mio dubbio si concentra sulla funzione $ f(x)= x-arctan (|x-3|) $.
Sto cercando di capire come individuare il segno di questa funzione e le sue intersezioni con l'asse delle ordinate.
Se qualcuno è disposto a condividere le proprie conoscenze o suggerire risorse utili per comprendere meglio il comportamento di questa maledetta funzione, ne sarei molto grato. Forse c'è qualcosa di specifico che mi sfugge e sono convinto che la vostra esperienza possa fare la differenza.
Grazie anticipatamente a chi vorrà prendersi il tempo di rispondere e condividere la propria conoscenza. Il vostro contributo sarà di grande valore e sono qui per imparare e apprezzare qualsiasi aiuto!
Risposte
Ciao Edoardo!,
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta non mi pare particolarmente complicata, è definita in $\RR$ e ha valori in $\RR$. In $x = 3$ c'è un punto angoloso (studia il modulo) e si ha $f(3) = 3 $ e l'intersezione con l'asse delle ordinate (asse $y$) si trova ponendo $x = 0$ (equazione dell'asse $y$), sicché si ha:
$f(0) = - arctan|-3| = - arctan 3 $
L'intersezione con l'asse $x$ invece è un po' più complicata, ma si trova nell'intervallo $[1, 2) $, piuttosto vicina a $1$...
Benvenuto sul forum!
La funzione proposta non mi pare particolarmente complicata, è definita in $\RR$ e ha valori in $\RR$. In $x = 3$ c'è un punto angoloso (studia il modulo) e si ha $f(3) = 3 $ e l'intersezione con l'asse delle ordinate (asse $y$) si trova ponendo $x = 0$ (equazione dell'asse $y$), sicché si ha:
$f(0) = - arctan|-3| = - arctan 3 $
L'intersezione con l'asse $x$ invece è un po' più complicata, ma si trova nell'intervallo $[1, 2) $, piuttosto vicina a $1$...
"pilloeffe":
L'intersezione con l'asse $x$ invece è un po' più complicata, ma si trova nell'intervallo $[1, 2) $, piuttosto vicina a $1$...
Grazie per la risposta ma vorrei comprendere l'intervallo...che calcolo c'è dietro?
Grazie nuovamente
Beh, la derivata prima della funzione $f(x) = x - arctan|x - 3| $ è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente, poi passa da un valore negativo come $- arctan 3 $ ad un valore positivo come $3$, quindi deve per forza passare dall'asse $x$ in un punto $x_0 $ compreso fra $1$ e $3$, ma si ha:
$f(1) = 1 - arctan|- 2| = 1 - arctan2 ~~ - 0,107148 < 0$
ma debolmente $< 0$, quindi la soluzione cercata $x_0 $ è vicina a $1$.
$f(2) = 2 - arctan|- 1| = 2 - arctan 1 = 2 - \pi/4 ~~ 1,21460 > 0 $
Quindi in effetti la soluzione $x_0 $ è compresa nell'intervallo $[1, 2) $. Per determinarla con precisione userei il metodo di Newton-Raphson con la funzione $f(x) = x - arctan(3 - x) = x + arctan(x - 3) $ partendo proprio dal valore iniziale $x_0 = 1 $:
$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $
$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1 + (0,107148)/(1 + 1/(x^2 - 6x + 10))_{x = 1} = 1 + (0,107148)/(6/5) = 1,08929$
$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1,08929 - (0,0006586)/(1 + 1/(x^2 - 6x + 10))_{x = 1,08929} = 1,08929 - (0,0006586)/(1,215016) = 1,0887479 $
che è già la soluzione corretta fino alla settima cifra decimale.
$f(1) = 1 - arctan|- 2| = 1 - arctan2 ~~ - 0,107148 < 0$
ma debolmente $< 0$, quindi la soluzione cercata $x_0 $ è vicina a $1$.
$f(2) = 2 - arctan|- 1| = 2 - arctan 1 = 2 - \pi/4 ~~ 1,21460 > 0 $
Quindi in effetti la soluzione $x_0 $ è compresa nell'intervallo $[1, 2) $. Per determinarla con precisione userei il metodo di Newton-Raphson con la funzione $f(x) = x - arctan(3 - x) = x + arctan(x - 3) $ partendo proprio dal valore iniziale $x_0 = 1 $:
$x_{n + 1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} $
$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 1 + (0,107148)/(1 + 1/(x^2 - 6x + 10))_{x = 1} = 1 + (0,107148)/(6/5) = 1,08929$
$x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1,08929 - (0,0006586)/(1 + 1/(x^2 - 6x + 10))_{x = 1,08929} = 1,08929 - (0,0006586)/(1,215016) = 1,0887479 $
che è già la soluzione corretta fino alla settima cifra decimale.
"pilloeffe":
Beh, la derivata prima della funzione $f(x) = x - arctan|x - 3| $ è sempre positiva, quindi la funzione è sempre crescente, poi passa da un valore negativo come $- arctan 3 $ ad un valore positivo come $3$, quindi deve per forza passare dall'asse $x$ in un punto $x_0 $ compreso fra $1$ e $3$
Andrebbe detto che ciò è vero perché è una funzione continua. La funzione:
$$g(x)=\begin{cases}x-1, \ \text{se} \ x < 0 \\ x+1, \ \text{se} \ x \ge 0 \end{cases}$$
è crescente ma passa dal valore $-3/2$ al valore $1$ senza assumere mai i valori compresi tra $-1$ e $1/2$ (ad esempio).
"Mephlip":
Andrebbe detto che ciò è vero perché è una funzione continua.
Mi pareva superfluo specificarlo: $f(x) $ è somma algebrica di funzioni continue e pertanto è anch'essa continua...
Si, la verifica della continuità è una cosa immediata, ma non è tanto la verifica della continuità in sé quanto la sua importanza come ipotesi nella deduzione di quel fatto: c'è il rischio di convincersi del fatto falso che le funzioni crescenti assumano tutti i valori compresi tra l'immagine dell'estremo sinistro dell'intervallo di definizione tramite $f$ e l'immagine dell'estremo destro dell'intervallo di definizione tramite $f$.
Non conosciamo il "livello" di Edoardo e quindi meglio specificare
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Non conosciamo il "livello" di Edoardo e quindi meglio specificare
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