Dubbio su una derivata

[indovina]

Sto ripetendo le derivate e mi sono suffermato su questa:

$y=(logx)^(2/3)$

$y'=(2/3)*(logx)^((2/3)-1)*(1/x)$


cioè vorrei capire se nel fare la derivata io dovrei derivare una funzione del tipo $y=f(x)^K$ in questo modo come ho fatto io.

[lordmarcho]

Esattamente!
$y=f(x)^\alpha$ , quindi: $y'=\alphaf(x)^(\alpha-1)f'(x)

[indovina]

Ah bene!
Ho un problema con questo limite.
Io ho applicato de hopital, ma niente.

per $x->1$

$((logx)^(2/3)+(x^2-1)^(3/4))/(sin(x-1))^(2/3)$

Non posso risolvere con qualche sostituzione?

[lordmarcho]

Prova $y=x-1$ così che hai $y->0$, così puoi usare Mc-Laurin (Taylor) per espandere la funzione!

[indovina]

A ecco, dovrei utilizzare quella formula, ma nel compito non c'è quindi meglio che salti.

[lordmarcho]

In questo caso in realtà ti basta utilizzare il criterio del confronto asintotico, ti basta sapere che:

$log(1+y)~~y$
$sin(y)~~y$

(Altro non sarebbe che il primo grado del polinomio di Taylor poi!)

[indovina]

Ho usato il criterio del confronto asintotico.
Al posto di $sin(y)^(2/3)$ ho messo $y^(2/3)$
Alla fine mi trovo con il libro
viene $1$