Dubbio su una delle ipotesi dei teoremi di Fermat,rolle e L.

[endurance1]

salve,
oggi studiando analisi, mi è venuto un dubbio,
nei tre teoremi di fermat, rolle e lagrance c'è la prima ipotesi ke dice ka la funzione sia continua in un intervallo chiuso [a,b] e la seconda ipotesi ke afferma ke la funzione deve essere derivabile nell'intervallo aperto (a,b).
il mio dubbio è questo xkè deve essere derivabile all'interno dell'intervallo?agli estremi nn lo
può essere?una funzione in generale è derivabile agli estremi di un intervallo chiuso?se si xkè in questi teoremi viene fatta tale ipotesi

grazie.....

[Sk_Anonymous]

Dire che la funzione deve essere continua nell'intervallo chiuso e derivabile solo nell'aperto significa dire che la continuità deve esserci anche agli estremi dell'intervallo, mentre la derivabilità agli estremi non è necessaria.Certo, se la funzione fosse derivabile anche agli estremi dell'intervallo, non ci sarebbero problemi.

Ad esempio la funzione $f(x)=sqrt(x-x^2)$ è continua nell'intervallo chiuso [0,1], ma derivabile solo in (0,1), poichè verifica anche la terza ipotesi di Rolle, si può trovare un punto, interno a (0,1) in cui la sua derivata prima si annulla.

D'altra parte chiedere la derivabilità nell'intervallo [a,b] renderebbe superfluo chiederne la continuità, visto che una funzione per essere derivabile deve essere anche continua.

Le ipotesi dei suddetti teoremi potrebbero essere scritte anche nel seguente modo:
la funzione deve essere derivabile in (a,b), e almeno continua in a e in b.

[Fioravante Patrone1]

per alcune applicazioni di quei teoremi è importante che si possano dimostrare senza richiedere per forza la derivabilità sull'intervallo chiuso

una di queste applicazioni è il teorema di De l'Hopital