Dubbio su una definizione di vettore normale ad una superficie

[Giovastro]

Buongiorno, sto preparando analisi 2 e ho un dubbio che non riesco a chiarirmi. Nella definizione data dal professore di "vettore normale" ad una superficie parametrica richiede che la superficie oltre a dover essere regolare deve anche essere semplice. Ciò che non capisco è : perché richiedere la semplicità della superficie? La regolarità, e dunque l'esistenza delle derivate parziali (linearmente indipendenti) che fungono da vettori paralleli, non è già una condizione sufficiente per l'esistenza del vettore normale alla superficie in un dato punto di essa?
Grazie anticipatamente a chi può aiutarmi a chiare questo punto

[anto_zoolander]

Magari per alcune superfici che si autointersecano nei punti di autointersezione il vettore normale finisce per essere anche vettore tangente.


Si può vedere facilmente con le curve, per visualizzare la cosa.

Prendi $phi(t)=(t^3-t,t^2-1)$
Questa curva è tale che $phi(-1)=(0,0)$ e $phi(1)=(0,0)$

Il vettore tangente sarà $phi’(t)=(3t^2-1,2t)$

$phi’(-1)=(2,-2)$ e $phi’(1)=(2,2)$

I due vettori sono ortogonali tra di loro e quindi anche alla curva.

Inoltre la semplicità permette di determinare univocamente il vettore normale.
In questo caso come si può vedere la curva nel punto $(0,0)$ ha due vettori normali

Questo non ti permette di definire in maniera sensata una funzione che a ogni punto della curva assegni un unico vettore normale.

[Giovastro]

Grazie mille anto. Esaustivissimo

[anto_zoolander]

Figurati
Non so se sia proprio questo il motivo, però mi sembra un motivo sufficiente per chiederne la semplicità.
Chiaramente si potrebbe controbattere dicendo che i vettori normali già in realtà sono almeno due(opposti in verso), ma a questo si può ovviare privilegiandone uno, mentre nel caso precedente ne avremmo addirittura $4$