Dubbio su un teorema del corso di Istituzione di Analisi Sup

[P40L01]

Buonasera a tutti, perfavore potete darmi una mano per comprendere un punto di un teorema che per me risulta poco chiaro, il teorema è il seguente:

"Se $\{f_n\}$ è una successione di funzioni misurabili definite su $X$ ed a valori reali, allora sono misurabili (sull'insieme dove assumono valore finito) le seguenti funzioni:
i) $Sup_{n\in\mathbb{N}} f_n(x)$; ii) $Inf_{n\in\mathbb{N}} f_n(x)$; ecc...
Per la i) si considera $\alpha\in\mathbb{R}$ e $g:=\Sup_{n\in\mathbb{N}} f_n(x)$, si valuta perciò (per il teorema di caratterizzazione delle funzioni misurabili) $g^{-1}(]\alpha,+\infty[)=\{x\in X:\Sup_{n\in\mathbb{N}} f_n(x)>\alpha\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}{x:f_n(x)>\alpha}$
da quest'ultima uguaglianza dovrebbe seguire la tesi in quanto $g^{-1}(]\alpha,+\infty[)$ è stato espresso come unione numerabile di insiemi misurabili , ma è proprio quest'ultima uguaglianza che non riesco a comprendere :\

[Rigel1]

Chiama $A=\{x\in X: "sup"_n f_n(x) > \alpha\}$, e $A_n = \{x\in X: f_n(x) > \alpha\}$.
Devi dimostrare che $A = \cup_n A_n$.
Hai che
$x\in A$ $\Leftrightarrow$ $\exists n\in\mathbb{N}$ t.c. $f_n(x)>\alpha$
e quest'ultima condizione è equivalente a $x\in A_n$.
Di conseguenza
$x\in A$ $\Leftrightarrow$ $\exists n\in\mathbb{N}$ t.c. $x\in A_n$ $\Leftrightarrow$ $x\in\cup_n A_n$.

[gugo82]

Fissa [tex]$\xi \in X$[/tex].
Dire [tex]$g(\xi )>a$[/tex] equivale a dire [tex]$\sup_n f_n(\xi )>a$[/tex]; ma scrivere [tex]$\sup_n f_n(\xi )>a$[/tex] equivale a dire che esiste un [tex]$n$[/tex] tale che [tex]$f_n(\xi )>a$[/tex] (definizione di estremo superiore per la successione reale [tex]$(f_n(\xi ))_{n\in\mathbb{N}}$[/tex]).
Perciò [tex]$\xi\in \{ g(x)>a\} $[/tex] se e solo se [tex]$\xi$[/tex] è in qualche [tex]$\{ f_n(x)>a\}$[/tex]; quindi [tex]$\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{ f_n(x)>a\}$[/tex].

[P40L01]

Chiarissimi entrambi. Grazie Gugo, grazie Rigel