Dubbio su un problema di Cauchy
Salve, ho un dubbio stupido sul seguente problema di cauchy:
$ { ( y'=(y^2-1)/(x^2-1) ),( y(0)=0 ):} $
Separando le variabili mi riconduco ai due integrali:
$ int(dy)/(y^2-1)= int (dx)/(x^2-1) $ . Risolvo con la scomposizione arrivando alla fine dei calcoli ad un'equazione del genere:
$ y^2-1=x^2-1 $ .
Corretto fin qui il procedimento? Perchè il testo dai risultati considera come soluzione solamente $ y(x)=x $ "escludendo" quella negativa?
Grazie a tutti!
$ { ( y'=(y^2-1)/(x^2-1) ),( y(0)=0 ):} $
Separando le variabili mi riconduco ai due integrali:
$ int(dy)/(y^2-1)= int (dx)/(x^2-1) $ . Risolvo con la scomposizione arrivando alla fine dei calcoli ad un'equazione del genere:
$ y^2-1=x^2-1 $ .
Corretto fin qui il procedimento? Perchè il testo dai risultati considera come soluzione solamente $ y(x)=x $ "escludendo" quella negativa?
Grazie a tutti!
Risposte
Ciao Amedim,
Prova a vedere cosa accade se sostituisci la "soluzione" $y(x) = - x $ nell'equazione differenziale proposta...
Prova a vedere cosa accade se sostituisci la "soluzione" $y(x) = - x $ nell'equazione differenziale proposta...
"pilloeffe":
Ciao Amedim,
Prova a vedere cosa accade se sostituisci la "soluzione" $y(x) = - x $ nell'equazione differenziale proposta...
Giusto, che stupido... si otterrebbe la stessa cosa hahah. Per "formalità' " credevo andasse riportata anche la soluzione con il - .
No, non sei stato abbastanza accorto: sostituendo la "soluzione" $y(x) = - x $ nell'equazione differenziale $y' = \frac{y^2 - 1}{x^2 - 1} $ otterresti
$- 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 1 $
che è manifestamente falso...
$- 1 = \frac{x^2 - 1}{x^2 - 1} = 1 $
che è manifestamente falso...
Cose che capitano quando si risolvono EDO senza fare le cose per bene.
Il P.d.C. assegnato ha unica soluzione locale, definita al più in $]-1,1[$.
Facendo i calcoli correttamente, cioè usando le funzioni integrali dopo aver separato le variabili, ottieni:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{y^2(t) -1}\ \text{d} t = \int_0^x \frac{1}{t^2-1}\ \text{d} t
\]
da cui la soluzione in forma implicita:
\[
|y^2(x)-1| = 1-x^2\;.
\]
Visto che, intorno a $0$ la tua $y(x)$ è piccola (perché $y$ è continua e soddisfa $y(0)=0$), dunque hai $-1<=y(x)<=1$ e perciò $|y^2(x)-1|=1-y^2(x)$; conseguentemente, dall'equazione implicita ricavi $y^2(x)=x^2$, cioè $y(x)=x$ oppure $y(x)=-x$.
Chiaramente, dato che sei in regime di unicità locale, il problema non può avere due soluzioni distinte; quindi una delle due espressioni trovate è certamente da scartare.
Visto che, sostituendo nella EDO le condizioni iniziali, si trova $y^\prime (0) =1$, è evidente che l'unica soluzione locale del P.d.C. è $y(x)=x$.
Si pone il problema di determinare in quale intervallo l'espressione trovata determina una soluzione. Come detto sopra, la $x$ deve muoversi in un intorno di $0$ che sia contenuto in $]-1,1[$; visto che le condizioni con cui abbiamo determinato la $y$ (cioè $-1<= y <=1$) sono soddisfatte dalla nostra $y(x)$ in tutto $]-1,1[$, l'intervallo di definizione della soluzione è tutto $]-1,1[$.
Il P.d.C. assegnato ha unica soluzione locale, definita al più in $]-1,1[$.
Facendo i calcoli correttamente, cioè usando le funzioni integrali dopo aver separato le variabili, ottieni:
\[
\int_0^x \frac{y^\prime (t)}{y^2(t) -1}\ \text{d} t = \int_0^x \frac{1}{t^2-1}\ \text{d} t
\]
da cui la soluzione in forma implicita:
\[
|y^2(x)-1| = 1-x^2\;.
\]
Visto che, intorno a $0$ la tua $y(x)$ è piccola (perché $y$ è continua e soddisfa $y(0)=0$), dunque hai $-1<=y(x)<=1$ e perciò $|y^2(x)-1|=1-y^2(x)$; conseguentemente, dall'equazione implicita ricavi $y^2(x)=x^2$, cioè $y(x)=x$ oppure $y(x)=-x$.
Chiaramente, dato che sei in regime di unicità locale, il problema non può avere due soluzioni distinte; quindi una delle due espressioni trovate è certamente da scartare.
Visto che, sostituendo nella EDO le condizioni iniziali, si trova $y^\prime (0) =1$, è evidente che l'unica soluzione locale del P.d.C. è $y(x)=x$.
Si pone il problema di determinare in quale intervallo l'espressione trovata determina una soluzione. Come detto sopra, la $x$ deve muoversi in un intorno di $0$ che sia contenuto in $]-1,1[$; visto che le condizioni con cui abbiamo determinato la $y$ (cioè $-1<= y <=1$) sono soddisfatte dalla nostra $y(x)$ in tutto $]-1,1[$, l'intervallo di definizione della soluzione è tutto $]-1,1[$.
Ciao gugo82,
Tutto giusto a parte una piccola svista nel secondo integrale ove compare un $x^2 $ invece di un $t^2 $...
Tutto giusto a parte una piccola svista nel secondo integrale ove compare un $x^2 $ invece di un $t^2 $...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo